Besaran Vektor

Diposting pada

Pengertian

Besaran Vektor – Vektor merupakan jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan, percepatan, dan lain-lain sebagainya. Sebuah vektor digambarkan sebagai sebuah ruas garis berarah yang memiliki titik tangkap (titik pangkal) sebagai tempat permulaan vektor itu bekerja. Panjang garis menunjukkan nilai vektor dan juga arah panah menunjukkan arah vektor itu bekerja. Garis yang melalui vektor tersebut dinamakan dengan garis kerja.


Penulisan sebuah simbol besaran vektor dengan menggunakan huruf tegak dicetak tebal, misalnya ialah vektor AB ditulis AB. Selain itu, dapat juga dinyatakan dengan huruf miring dengan tanda panah di atasnya, misalnya vektor AB ditulis AB .


Besar (nilai) sebuah vektor dinyatakan dengan huruf miring AB. Selain itu bisa pula dituliskan dalam garis mutlak, yaitu dua garis tegak sejajar, pada kedua sisi notasi vektor, misalnya, besarnya vektor AB = AB = |AB|.


  • Menggambarkan Vektor dalam Bidang Datar (dalam Dua Sumbu)

Pada bidang datar, vektor memiliki dua komponen yaitu pada sumbu x dan sumbu y, tampak seperti pada Gambar 1.18. Sebuah vektor dapat saja memiliki satu komponen bila vektor tersebut berada pada salah satu sumbu x atau y. Komponen vektor ialah vektor-vektor yang bekerja pada saat yang bersamaan sehingga menghasilkan satu vektor dengan arah tertentu (resultan). Oleh sebab itu vektor tergantung pada besar dan arah, maka vektor tersebut bisa dipindahkan titik tangkapnya asal besar dan arahnya tetap.


Penulisan matematis A bisa ditulis dalam komponen-komponennya: A = Ax + Ay; A adalah jumlah dari komponen-komponennya.

Cara lain untuk menuliskan vektor, yaitu: A = Axi + Ayj


Di mana: Ax dan Ay menunjukkan besar (harga) vektor pada masing-masing komponen sumbu x dan sumbu y, sedangkan i dan j merupakan vektor satuan pada masing-masing komponen sumbu x dan sumbu y.


Vektor satuan merupakan vektor yang besar/harganya satu satuan; vektor ruang yang telah diuraikan ke sumbu x(i), sumbu y(j), dan sumbu z(k). Dikatakan vektor satuan karena besar vektor = |i| = |j| = |k| = 1. Misalnya, vektor A mempunyai komponen sumbu x(Ax), pada sumbu y(Ay), dan sumbu z(Az ), maka vektor A dapat ditulis dalam lambang vektor:


= Axi + Ayj + Azk


  1. Penjumlahan Vektor


Penjumlahan dua buah vektor adalah mencari sebuah vektor yang komponen-komponennya adalah jumlah dari kedua komponen- Dengan kata lain untuk “menjumlahkan dua buah vektor” ialah “mencari resultan”.


Untuk vektor-vektor segaris, misalnya ialah vektor A dan B dalam posisi segaris dengan arah yang sama seperti tampak pada Gambar 1.20(a), maka resultan (jumlah) vektor dituliskan: R = A + B


komponen vektor pembentuknya.

Pada kasus penjumlahan vektor yang lain, seperti yang ditunjukkan Gambar 1.20(b) terdapat dua vektor yang tidak segaris yang memiliki titik pangkal sama tetapi dengan arah yang berbeda, sehingga membentuk sudut tertentu. Untuk vektor-vektor yang membentuk sudut α , maka jumlah vektor bisa dilukiskan dengan menggunakan metode tertentu. Cara ini disebut dengan metode jajaran genjang.


Cara melukiskan jumlah dua buah vektor dengan metode jajaran genjang sebagai berikut:


  • titik tangkap A dan B dibuat berimpit dengan memindahkan titik tangkap A ke titik tangkap B, atau sebaliknya;

  1. buat jajaran genjang dengan A dan B sebagai sisi-sisinya;


  • tarik diagonal dari titik tangkap sekutu, maka A + B = R adalah diagonal jajaran genjang.

Gambar 1.21 menunjukkan penjumlahan dua vektor A dan B. Dengan menggunakan persamaan tertentu, dapat diketahui besar dan arah resultan kedua vektor tersebut.


Persamaan tersebut diperoleh dengan menerapkan aturan cosinus pada segitiga OPR, sehingga dihasilkan: (OR)2 = (OP)2 + (PR)2 – 2 (OP)(PR) cos (180o – α )

= (OP)2  + (PR)2  – 2 (OP)(PR)(–cos α )

(OR)2   = (OP)2  + (PR)2  + 2 (OP)(PR)cos α

Diketahui bahwa OP = A, PR = OQ = B, OR = R, sehingga:

R2= A2+B2+2ABcos α  atau R=  A 2  + B2 + 2 AB cos

  • merupakan diagonal panjang jajaran genjang, jika α lancip. Sementara itu, α adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh A dan B.

Sebuah vektor memiliki besar dan arah. Jadi setelah mengetahui besarnya, kita perlu menentukan arah d an resultan v ektor tersebut. Arah R d apat ditentukan oleh sudut antara R dan A atau R dan B.


Misalnya sudut è merupakan sudut yang dibentuk R dan A, maka dengan memakai aturan sinus pada segitiga OPR akan diperoleh:


Dengan menggunakan persamaan tersebut, maka besar sudut è dapat diketahui.


Contoh Soal vektor


Dua buah vektor sebidang berturut-turut besarnya 4 satuan dan 6 satuan, bertitik tangkap sama dan mengapit sudut 60o. Tentukan besar dan arah resultan vektor tersebut!

Metode segitiga merupakan cara lain untuk menjumlahkan dua vektor, selain metode jajaran genjang. Dua buah vektor A dan B, yang pergerakannya ditunjukkan Gambar 1.22(a), akan memiliki resultan yang persamaannya dituliskan:


R = A + B


Resultan dua vektor akan tersebut diperoleh dengan menempatkan pangkal vektor yang kedua pada ujung vektor pertama. Resultan vektor tersebut diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor pertama dengan ujung vektor kedua.


Pada Gambar 1.22(b), pergerakan dimulai dengan vektor


B dilanjutkan dengan A, sehingga diperoleh persamaan:

Hasil yang diperoleh ternyata tidak berubah. Jadi, bisa disimpulkan bahwa penjumlahan vektor bersifat komutatif.


Tahapan-tahapan penjumlahan vektor dengan metode segitiga ialah sebagai berikut:


  • pindahkan titik tangkap salah satu vektor ke ujung berikutnya,

  • hubungkan titik tangkap vektor pertama ke ujung vektor kedua yang menunjukkan resultan kedua

vektor tersebut,

H

  • besar dan arah R dicari dengan aturan cosinus dan sinus.

Apabila penjumlahan lebih dari dua buah vektor, maka dijumlahkan dulu dua buah vektor, resultannya dijumlah-kan dengan vektor ke-3 dan seterusnya. Misalnya ialah, penjumlah-an tiga buah vektor A, B, dan C yang ditunjukkan pada Gambar 1.23. Pertama-tama kita jumlahkan vektor A dan B yang akan menghasilkan vektor V. Selanjutnya, vektor


  • tersebut dijumlahkan dengan vektor C sehingga dihasilkan resultan R, yang dituliskan: R = (A + B) + C = V + C

Cara lain yaitu dengan menjumlahkan vektor B dan


  • untuk menghasilkan W, yang kemudian dijumlahkan dengan vektor A, sehingga diperoleh resultan R, yaitu: R = A + (B + C) = A + W

apabila banyak vektor, maka penjumlahan vektor di-lakukan dengan menggunakan metode poligon (segi banyak).

  1. Pengurangan Vektor


Pengurangan vektor pada prinsipnya sama dengan penjumlahan, tetapi dalam hal ini salah satu vektor memiliki arah yang berlawanan. Misalnya, vektor A dan B, jika dikurangkan maka: A – B = A + (-B)

Di mana, –B ialah vektor yang sama dengan B, tetapi berlawanan arah.

  1. Penguraian Vektor secara Analisis


Untuk keperluan penghitungan tertentu, kadang-kadang sebuah vektor yang terletak dalam bidang koordinat sumbu x dan sumbu y harus diuraikan menjadi komponen-komponen yang saling tegak lurus (sumbu x dan juga sumbu y). Komponen ini adalah nilai efektif dalam suatu arah yang diberikan. Cara menguraikan vektor seperti ini disebut analisis. Misalnya, vektor A membentuk sudut α terhadap sumbu x positif, maka komponen vektornya ialah:


Ax  =  A cos α

Ay  =  A sin α


Besar (nilai) vektor A dapat diketahui dari persamaan:

 

demikianlah artikel dari dosenmipa.com mengenai Besaran Vektor, semoga artikel ini bermanfaat bagi anda semuanya.