Contoh Soal Fungsi Kuadrat

Diposting pada
4.6/5 - (113 votes)

1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x2 – 3x + 1 = 0 adalah …

  • imajiner
  • kompleks
  • nyata, rasional dan sama
  • nyata dan rasional
  • nyata, rasional dan berlainan.

PEMBAHASAN :

NOTE : D > 0, memiliki akar-akar riil dan berbeda

D < 0, memiliki akar-akar imajiner

D = 0, memiliki akar-akar riil dan kembar

D = b2 – 4ac

= (-3)2 – 4.5.1

= 9 – 20

= -11

JAWABAN : A


2. Sumbu simetri parabola y = x2 – 5x + 3 diperoleh pada garis …

  • x = 3/2
  • x = 3/2
  • x = 5/2
  • x = 5/2
  • x = 3

PEMBAHASAN :

Karena sumbu simetri parabola pasti dilewati oleh titik puncak parabola, maka kita bisa peroleh dengan y’ = 0

Y’ = 2x – 5

0 = 2x – 5

x = 5/2

jadi sumbu simetri parabola y = x2 – 5x + 3 adalah x = 5/2

JAWABAN : D


3. Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak dititik (2, 3) dan melalui titik (-2, 1) adalah …

  • y = -1/8(x – 2)2 + 3
  • y = -1/8(x – 2)2 – 3
  • y = 1/8(x + 2)2 – 3
  • y = 1/8(x + 2)2 + 3
  • y = 1/8(x – 2)2 + 3

PEMBAHASAN :

f(x) = ax2 + bx + c

f'(x) = 2ax + b

0 = 2a.2 + b

0 = 4a + b

-b = 4a … (i)

nilai fungsi pada titik puncak

f(2) = a(2)2 + b.2 + c

3 = 4a + 2b + c

3 = -b + 2b + c

3 = b + c … (ii)

f(-2) = a(-2)2 + b(-2) + c

1 = 4a – 2b + c

1 = -b – 2b + c

1 = -3b + c … (iii)

eliminasi persamaan (ii) dan (iii)

b + c = 3

-3b + c = 1

4b = 2

b = 1/2

substitusi b = 1/2 ke persamaan (ii)

1/2 + c = 3

c = 5/2

substitusi b = 1/2 ke persamaan (i)

-1/2 = 4a

a = -1/8

f(x) = (-1/8)x2 + 1/2 x + 5/2

= (-1/8)x2 + 4/8 x + 5/2

= -1/8(x2 – 4x) + 5/2

= -1/8(x – 2)2 + 4/8 + 5/2

= -1/8(x – 2)2 + 4/8 + 20/8

= -1/8(x – 2)2 + 3

JAWABAN : A


4. Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x + (a – 4) = 0. Jika x1 = 3x2, maka nilai a yang memenuhi adalah …

  1. 1
  2. 3
  3. 4
  4. 7
  5. 8

PEMBAHASAN :

x1 + x2 = -4

3x2 + x2 = -4

4x2 = -4

x2 = -1

x1 + (-1) = -4

x1 = -3

PK : x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

x2 – (-3 – 1)x + (-3)(-1) = 0

x2 + 4x + 3 = 0

a – 4 = 3

a = 7

JAWABAN : D


5. Persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar – akarnya x1 – 3 dan x2 – 3 adalah …

  1. x2 – 2x = 0
  2. x2 – 2x + 30 = 0
  3. x2 + x = 0
  4. x2 + x – 30 = 0
  5. x2 + x + 30 = 0

PEMBAHASAN :

akar – akarnya :

x1 – 3 = y x1 = y + 3

x2 – 3 = y x2 = y + 3

  1. substitusi nilai “x1” atau “x2” kepersamaan kuadrat dalam soal, sehingga menjadi :

x2 – 5x + 6 = 0

PK Baru : (y + 3)2 – 5(y + 3) + 6 = 0

y2 + 6y + 9 – 5y – 15 + 6 = 0

y2 + y = 0

JAWABAN : C


6. Pak Musa mempunyai kebun berbentuk persegi panjang dengan luas 192 m2. Selisih panjang dan lebarnya adalah 4 m. Apabila disekeliling kebun dibuat jalan dengan lebar 2 m, maka luas jalan tersebut adalah … m2.

  1. 96
  2. 128
  3. 144
  4. 156
  5. 168

PEMBAHASAN :

p – l = 4

p x l = 192

(4 + l) x l = 192

4l + l2 = 192

l2 + 4l – 192 = 0

(l – 12)(l + 16) = 0

l = 12 atau l = -16 (tidak memenuhi)

p = 4 + l = 4 + 12 = 16

Untuk menentukan luas jalan, kita partisi-partisi menjadi 8 yaitu :

4 luas jalan yang berada di pojok-pojok kebun berbentuk persegi dengan panjang sisi 2cm : 4 x 22 = 16cm2

2 luas jalan yang berada pada panjang kebun dengan panjang sisi 12cm dan lebar 2cm : 2 x (12 x 2) = 48cm2

2 luas jalan yang berada pada lebar kebun dengan panjang sisi 8cm dan lebar 2cm : 2 x (8 x 2) = 32cm2

Jadi luas jalan yang dibangun adalah 16 + 48 + 32 = 96cm2

JAWABAN : A


7. Persamaan 2x2 + qx + (q – 1) = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Jika x12 + x22 = 4, maka nilai q = …

  1. -6 dan 2
  2. -6 dan -2
  3. -4 dan 4
  4. -3 dan 5
  5. -2 dan 6

PEMBAHASAN :

x12 + x22 = 4

(x1 + x2)2 – 2x1x2 = 4

(-b/a)2 – 2(c/a) = 4

(-q/2)2 – 2((q – 1)/2) = 4

q2/4 – q + 1 = 4 (kalikan 4)

q2 – 4q + 4 = 16

q2 – 4q – 12 = 0

(q – 6)(q + 2) = 0

q = 6 atau q = -2

JAWABAN : E


8. Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x2 – 9x + c = 0 adalah 121, maka c = …

  1. -8
  2. -5
  3. 2
  4. 5
  5. 8

PEMBAHASAN :

D = 121

b2 – 4ac = 121

(-9)2 – 4(2)(c) = 121

81 – 8c = 121

81 – 121 = 8c

-40 = 8c

-5 = c

JAWABAN : B


9. Persamaan (1 – m)x2 + (8 – 2m)x + 12 = 0 mempunyai akar kembar, maka nilai m = …

  1. -2
  2. -3/2
  3. 0
  4. 3/2
  5. 2

PEMBAHASAN :

Akar kembar jika D = 0

b2 – 4ac = 0

(8 – 2m)2 – 4(1 – m)(12) = 0

64 – 32m + 4m2 – 48 + 48m = 0

4m2 + 16m + 16 = 0

4(m2 + 4m + 4) = 0

(m + 2)(m + 2) = 0

m1,2 = -2

JAWABAN : A [Sudah Dikoreksi]


10. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum –2 untuk x = 3 dan untuk x = 0 nilai fungsi 16. Fungsi kuadrat itu adalah …

PEMBAHASAN :

misal : f(x) = ax2 + bx + c

substitusi x = 0 untuk nilai fungsi 16, sehingga :

   f(0) = a(0)2 + b(0) + c

   16 = c … (i)

Substitusi x = 3 untuk nilai minimum -2, sehingga :

   f(3) = a(3)2 + b(3) + c

   -2 = 9a + 3b + c … (ii)

      f'(x) = 2ax + b

substitusi titik x = 3 (titik minimum) untuk f'(x) = 0, sehingga :

   0 = 2a(3) + b

   b = -6a … (iii)

substitusi (i) dan (iii) ke (ii), sehingga diperoleh :

   -2 = 9a + 3b + c

   -2 = 9a + 3(-6a) + 16

   -2 = 9a – 18a + 16

   -18 = -9a

     2 = a

         b = -12

f(x) = ax2 + bx + c

substitusi a = 2 , b = -12 dan c = 16

f(x) = 2x2 – 12x + 16


11. Absis titk balik grafik fungsi f(x) = px2 + ( p – 3 )x + 2 adalah p. Nilai p = …

PEMBAHASAN :

Titik balik = titik minimum.

  f(x) = px2 + ( p – 3 )x + 2

  f'(x) = 2px + p – 3 = 0

substitusi x = p, sehingga diperoleh :

   2p2 + p – 3 = 0

   (2p + 3)(p – 1) = 0

   p = -3/2 atau p = 1


Persamaan kuadrat merupakan cabang dari ilmu matematika aljabar yang sudah terkenal sejak 2000 tahun yang lalu, pada awalnya persamaan kuadrat dicetuskan di daerah babilonia di mana orang belajar untuk memecahkan linear (ax = b) dan kuadrat (ax 2 + bx = c) persamaan, dan persamaan yang tak tentu seperti x 2 + y 2 = z 2  dan untuk membantu memecahkan dalam proses  pembangunan khususnya bidang lengkung.

Peradaban kuno mengatakan ekspresi aljabar pada sistem persamaan kuadrat hanya menggunakan sesingkatan sesekali,  , tetapi oleh ahli matematika abad pertengahan Islam mampu berbicara tentang kekuasaan sewenang-wenang tinggi dari x tidak diketahui, dan bekerja di luar aljabar dasar polinomial (tanpa belum menggunakan simbolisme modern). Ini termasuk kemampuan untuk mengalikan, membagi, dan menemukan akar kuadrat dari polinomial serta pengetahuan dari teorema binomial.

The Alexandria matematikawan Hero dari Alexandria dan Diophantus melanjutkan tradisi Mesir dan Babel, tetapi Diophantus ‘s buku Arithmetica berada pada tingkat yang jauh lebih tinggi dan memberikan solusi mengejutkan banyak persamaan tak tentu sulit.

Pengetahuan kuno solusi dari persamaan pada gilirannya menemukan rumah awal di dunia Islam, di mana ia dikenal sebagai “ilmu restorasi dan balancing.” (Kata Arab untuk restorasi, al-jabru, adalah akar dari aljabar kata.) Dalam abad ke-9, matematikawan Arab al-Khwarizmi menulis satu dari algebras Arab pertama, uraian sistematis dari teori dasar persamaan, dengan kedua contoh dan bukti. Pada akhir abad 9, ahli matematika Mesir Abu Kamil telah menyatakan dan membuktikan hukum dasar dan identitas dari aljabar dan memecahkan masalah rumit seperti menemukan x, y, dan z sehingga x + y + z = 10, x 2 + y 2 = z 2, dan xz = y 2