Contoh Soal Induksi Matematika

Diposting pada

Pengertian Induksi Matematika

Induksi Matematika merupakan salah satu metode/cara pembuktian yang abash dalam matematik untuk membuktikan suatu pernyataan matematika apakah benar atau salah. Induksi matematika adalah metode penalaran deduktif. Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements  n  A   S(n) dengan A  N  dan N adalah himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli. S(n) adalah fungsi propositional.


Tahapan Induksi Matematika

Induksi matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk memeriksa validasi suatu pernyataan yang diberikan dalam himpunan bilangan positif atau himpunan bilang asli. Pembuktian dengan cara ini terdiri dari 3 langkah, yaitu :

  1. Langkah basis

Menunjukan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1

  1. Langkah induksi

Menunjukan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n = k, maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n = k+1.

  1. Kesimpulan

Definisi:

Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan P(n) yang bias benar atau salah. Misalkan,

  1. P(1), benar
  2. Jika untuk n=k yaitu P(k) benar, maka untuk n=k+1 harus kita buktikan P(k+1) benar

Sehingga P(n) benar untuk setiap bilangan asli n


Contoh Soal

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2

1 + 3 + 5 + …. + (2n – 1) = n2

Penyelesaian

  • Langkah Basis : Misalkan , p(n) adalah 1 + 2 + 3 + … + (2n – 1) = n2

P(1) à (2n – 1) = n2

                  (2.1 – 1) = 12

                  1 = 1  ( benar )

Jadi, p(1) benar.

  • Langkah induksi : mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu :

                  n = k à  1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2

Kita harus memperlihatkan bahwa n= k+1

n = k+1 à 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2n – 1) = n2

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1)         = (k + 1)2

                  1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 2 – 1)           = (k + 1)2

                                                        k2                +      (2k + 1)           = (k + 1)2

                                                                                    (k + 1)2                = (k + 1)       (Terbukti)

Jadi, p (k + 1) benar.


Prinsip-prinsip Induksi Matematika


Prinsip Induksi Sederhana.

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif. Untuk membuktikan pernyataan ini, diperlukan langkah-langkah seperti dibawah ini:

  1. Basis: tunjukan p(1) benar.
  2. Induksi: Misal p(n) benar untuk semua bilangan positif n 1
  3. Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesisinduksi.
  4. Kesimpulan: Buktikan bahwa p(n+1) benar.

Bila kita sudah menunjukkan semua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.


Contoh Soal

Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.

Penyelesaian:

  • Basis induksi: Untuk n= 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 12 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.

(ii)   Langkah induksi: Andaikan p(n) benar, yaitu pernyataan

                                    1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah (2n – 1)]. Kita harus memperlihatkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2

juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1)

= [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n +1)

n2 + (2n + 1)

n2 + 2n + 1

= (n + 1)2

Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkan benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.


Contoh 2 (Pembuktian rumus jumlah deret persegi)

Buktikan :  12+ 22+ 32+42…+n2 =  n (n+1) (2n+1), n ∈ bilangan asli.

Bukti :
(i)    Basis induksi: Untuk n = 1, maka diperoleh 12 =  .1 (1+1) (2.1+1)

1=1 (terbukti).

(ii)  Langkah induksi:n = k,   12+ 22+ 32+42…+k2 =  k (k+1) (2k+1), diasumsikan

benar.

 n = k+1,

12 + 22 + 32 + 42 … + k2 + (k + 1)2      =  (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1).
12 + 22 + 32 + 42 … + k2 + (k + 1)2    =  (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1)

 k (k + 1) (2k + 1) + (k + 1)2             =  (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1)

(k + 1) [  k (2k + 1) + (k + 1) ]      =  (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1)
(k + 1) [  k (2k + 1) + (k + 1) ]     =  (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1)
(k + 1) [ k (2k + 1) + 6(k + 1) ]    =  ( k + 1) ((k + 1) + 1) (2( k + 1) + 1)

                            (k + 1) [ 2k2 + 7k + 6]                     =  (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1)

                         (k + 1) [(k + 2)(2k + 3)]                  = (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1)

    (k + 1) [(k + 1 + 1) (2(k + 1) + 1)] =  (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)

                                                (Terbukti)


Prinsip Induksi yang Dirampatkan

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat  n ³ n0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

  1. Basis: p(n0) benar
  2. Induksi: Andaikan p(n) benar untuk n ≥ n0
  3. Kesimpulan: buktikan bahwa P(n + 1) benar.

Jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar  untuk semua bilangan bulat n ≥ n0


Contoh soal:

Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematik bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1

Penyelesaian:

  • Basis induksi. Untuk n= 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama),

kita  peroleh:

20 = 20+1 – 1.

Ini jelas benar, sebab 20 = 1

= 20+1 – 1

= 21 – 1

= 2 – 1

= 1

(ii)     Langkah induksi. Andaikan bahwa p(n) benar, yaitu

                                       20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1

adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu

                                     20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 2(n+1) + 1 – 1

juga benar. Ini kita tunjukkan sebagai berikut:

20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1 = (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis induksi)

                                                                                               =  (2n+1 + 2n+1) – 1

                                                                                               = (2 . 2n+1) – 1

                                                                                               = 2n+2 – 1

                                                                                               = 2(n+1) + 1 – 1

Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1


Prinsip Induksi Kuat

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat  n  n0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

  1. p(n0) benar, dan
  2. Jika p(n0), p(n0+1), …, p(n) benar maka p(n+1) juga benar untuk semua bilangan   bulat  n  n0.

Contoh soal:

Bilangan bulat positif disebut prima jika dan hanya jika bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri. Kita ingin membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n (n  2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima. Buktikan dengan prinsip induksi kuat.

Penyelesaian:

Basis induksi. Jika n = 2, maka 2 sendiri adalah bilangan prima dan di sini 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu buah bilangan prima, yaitu dirinya sendiri.

Langkah induksi. Misalkan pernyataan bahwa bilangan 2, 3, …, n dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan prima adalah benar (hipotesis induksi). Kita perlu menunjukkan bahwa n + 1 juga dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima. Ada dua kemungkinan nilai n + 1:

  1. Jika n+ 1 sendiri bilangan prima, maka jelas ia dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.
  2. Jika n + 1 bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan bulat positif a yang membagi habis n + 1 tanpa sisa. Dengan kata lain,

(n + 1)/ a = b   atau (n + 1) = ab

yang dalam hal ini, 2  a  b  n. Menurut hipotesis induksi, a dan b dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima. Ini berarti, n + 1 jelas dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima, karena  n +1 = ab.

Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka terbukti bahwa setiap bilangan bulat positif n (n  2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.