Dalam dunia matematika, barisan dan deret menjadi materi penting yang sering ditemui, baik di bangku sekolah menengah hingga perguruan tinggi. Salah satu barisan yang paling sering dibahas adalah barisan geometri. Artikel ini akan mengupas secara detail tentang barisan geometri, mulai dari pengertian, rumus, contoh soal, hingga penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.
Apa Itu Barisan Geometri?
Sebelum memahami lebih jauh tentang rumus dan aplikasinya, mari kita mulai dengan memahami definisi dari barisan geometri itu sendiri.
Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tetap yang disebut rasio (r). Dengan kata lain, barisan geometri selalu memiliki pola perkalian yang sama dari satu suku ke suku berikutnya.
Contoh sederhana:
2, 4, 8, 16, 32, …
Pada barisan di atas, setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 2. Jadi, rasionya adalah 2.
“Memahami pola dalam barisan geometri memudahkan kita dalam menganalisis dan memprediksi angka berikutnya. Konsep ini juga sangat aplikatif di bidang ekonomi, fisika, dan teknologi.”
– Penulis passinggrade.co.id
Rumus Umum Barisan Geometri
Setelah mengetahui definisinya, langkah berikutnya adalah memahami rumus-rumus penting dalam barisan geometri. Rumus ini sangat berguna, baik untuk menyelesaikan soal matematika maupun untuk aplikasi praktis.
Rumus Suku ke-n Barisan Geometri
Setiap barisan geometri memiliki rumus untuk mencari suku ke-n, yaitu:
Un = a × r<sup>n-1</sup>
- Un : Suku ke-n
- a : Suku pertama
- r : Rasio (bilangan tetap)
- n : Urutan suku yang dicari
Contoh:
Diketahui barisan geometri 3, 6, 12, 24, …
Berapa suku ke-5?
Jawab:
a = 3
r = 2
n = 5
Un = 3 × 2<sup>5-1</sup> = 3 × 2<sup>4</sup> = 3 × 16 = 48
Rumus Jumlah n Suku Pertama (Sn) Barisan Geometri
Selain mencari suku ke-n, kita juga sering ditanya berapa jumlah n suku pertama dalam sebuah barisan geometri. Rumusnya sebagai berikut:
Jika r ≠ 1:
Sn = a × (r<sup>n</sup> – 1) / (r – 1)
- Sn : Jumlah n suku pertama
- a : Suku pertama
- r : Rasio
- n : Banyaknya suku yang dijumlahkan
Contoh:
Diketahui barisan geometri 5, 10, 20, 40, …
Berapa jumlah 4 suku pertama?
Jawab:
a = 5
r = 2
n = 4
Sn = 5 × (2<sup>4</sup> – 1) / (2 – 1) = 5 × (16 – 1) / 1 = 5 × 15 = 75
Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Geometri
Memahami teori saja tentu kurang lengkap tanpa latihan soal. Berikut beberapa contoh soal beserta pembahasannya agar lebih mudah dipahami.
Contoh Soal 1
Tentukan suku ke-6 dari barisan geometri 7, 21, 63, …!
Jawab:
a = 7
r = 21 / 7 = 3
n = 6
Un = 7 × 3<sup>6-1</sup> = 7 × 243 = 1.701
Contoh Soal 2
Jumlahkan 5 suku pertama dari barisan geometri 2, 6, 18, …!
Jawab:
a = 2
r = 3
n = 5
Sn = 2 × (3<sup>5</sup> – 1) / (3 – 1)
Sn = 2 × (243 – 1) / 2
Sn = 2 × 242 / 2 = 242
Contoh Soal 3
Jika suku ketiga sebuah barisan geometri adalah 24 dan suku kelima adalah 216, tentukan suku pertamanya!
Jawab:
Un = a × r<sup>n-1</sup>
U3 = a × r<sup>2</sup> = 24
U5 = a × r<sup>4</sup> = 216
U5 / U3 = (a × r<sup>4</sup>) / (a × r<sup>2</sup>) = r<sup>2</sup>
216 / 24 = 9 → r<sup>2</sup> = 9 → r = 3
Substitusi ke U3:
24 = a × 3<sup>2</sup> = a × 9
a = 24 / 9 = 2,67
Ciri-ciri dan Sifat Barisan Geometri
Barisan geometri memiliki beberapa ciri khas yang membedakannya dengan barisan lainnya, seperti barisan aritmatika. Beberapa ciri tersebut antara lain:
- Setiap suku (kecuali suku pertama) diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara dikalikan rasio yang sama.
- Jika dua suku berurutan dibagi, hasilnya selalu sama (rasio).
- Barisan geometri bisa terdiri dari bilangan bulat, pecahan, maupun desimal.
- Jika rasio lebih dari 1, barisan bersifat naik (bertambah besar); jika 0 < r < 1, barisan menurun; jika r negatif, barisan berganti tanda (+/-).
“Salah satu keunggulan barisan geometri adalah kemampuannya merepresentasikan pertumbuhan atau penurunan secara eksponensial, yang sangat berguna dalam studi populasi, keuangan, dan teknologi.”
– Penulis passinggrade.co.id
Perbedaan Barisan Geometri dan Barisan Aritmatika
Tidak sedikit siswa yang keliru membedakan antara barisan geometri dan aritmatika. Padahal, kedua barisan ini memiliki perbedaan mendasar.
- Barisan geometri: Pola suku diperoleh dengan perkalian (mengalikan dengan rasio tetap).
- Barisan aritmatika: Pola suku diperoleh dengan penjumlahan (menambah dengan beda tetap).
Contoh barisan aritmatika: 2, 4, 6, 8, 10 (bertambah 2 setiap suku)
Contoh barisan geometri: 3, 6, 12, 24, 48 (dikalikan 2 setiap suku)
Aplikasi Barisan Geometri dalam Kehidupan Nyata
Barisan geometri tidak hanya sekadar teori matematika, tetapi juga memiliki banyak penerapan dalam kehidupan sehari-hari.
Pertumbuhan Populasi
Pertumbuhan jumlah penduduk di suatu wilayah seringkali mengikuti pola barisan geometri. Jika setiap tahun populasi bertambah dengan persentase tetap, maka pola tersebut adalah geometri.
Contoh:
Jika suatu kota berpenduduk 10.000 jiwa dan setiap tahun tumbuh 5%, maka:
- Tahun pertama: 10.000
- Tahun kedua: 10.000 × 1,05 = 10.500
- Tahun ketiga: 10.500 × 1,05 = 11.025
dan seterusnya.
Perkembangan Teknologi
Teknologi, terutama dalam bidang digital, seringkali mengalami pertumbuhan eksponensial. Misalnya, kapasitas penyimpanan data dan kecepatan prosesor komputer dari tahun ke tahun biasanya meningkat mengikuti pola barisan geometri.
Ilmu Keuangan
Dalam dunia investasi dan perbankan, konsep bunga majemuk juga menggunakan prinsip barisan geometri. Nilai uang yang diinvestasikan dengan bunga majemuk akan bertambah dengan pola geometri.
Contoh:
Jika seseorang menabung Rp1.000.000 dengan bunga majemuk 10% per tahun, maka setelah 3 tahun:
- Tahun pertama: 1.000.000 × 1,1 = 1.100.000
- Tahun kedua: 1.100.000 × 1,1 = 1.210.000
- Tahun ketiga: 1.210.000 × 1,1 = 1.331.000
Bidang Sains dan Teknik
Barisan geometri juga banyak digunakan dalam ilmu fisika, biologi (pertumbuhan bakteri), serta teknik rekayasa (misalnya, dalam sistem kelistrikan).
“Ketika kita sadar bahwa banyak fenomena di alam mengikuti pola barisan geometri, kita jadi semakin menghargai betapa pentingnya memahami konsep ini. Matematika memang benar-benar bahasa alam semesta.”
– Penulis passinggrade.co.id
Barisan Geometri dalam Perspektif Pendidikan
Barisan geometri adalah salah satu konsep fundamental yang harus dipahami oleh setiap pelajar. Tidak hanya penting secara akademik, barisan geometri juga sangat aplikatif dalam kehidupan sehari-hari, terutama untuk memahami pola pertumbuhan, penurunan, dan fenomena eksponensial lainnya.
Sebagai penutup, memahami barisan geometri berarti membuka wawasan tentang bagaimana angka, pola, dan fenomena di sekitar kita dapat dijelaskan secara matematis.
“Barisan geometri tidak sekadar soal rumus dan angka, melainkan jendela untuk memahami dinamika dunia secara lebih sistematis dan logis.”
– Penulis passinggrade.co.id
