√ Perkalian Vektor : Pengertian, Rumus dan Contohnya

Oleh Diposting pada
4/5 - (419 votes)

Pendahuluan

Perkalian Vektor – Pernahkah kalian melihat lembing yang meluncur di udara saat dilempar oleh atlet lempar lembing? Lembing tersebut meluncur dengan kecepatan dan arah tertentu sesuai dengan keinginan sang atlet. Dalam matematika, lembing yang meluncur ini mewakili sebuah vektor, yaitu suatu besaran yang memiliki besar dan arah. Agar kalian lebih memahami tentang vektor ini, pelajarilah bab berikut.

Pengertian Vektor

Ruas garis berarah yang kalian gambar pada kegiatan ini mewakili sebuah vektor. Panjang garis yang diukur menggunakan penggaris menunjukkan panjang vektor tersebut.

Penulisan vektor dengan menggunakan lambang panah di atas lebih sering digunakan. Karena mnggunakan tulisan tangan, vektor yang dibubuhi tanda panah lebih mudah dituliskan daripada yang dicetak tebal. Kalian bebas memilih cara penulisan vektor tersebut.

Sekarang, perhatikan sebarang titik A(a1, a2) dan titik B(b1, b2) pada koordinat Cartesius berikut.

Pada bidang Cartesius tersebut, vektor a mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal O(0, 0) ke titik A(a1, a2). Oleh karena itu, vektor a ini dapat kalian tuliskan dalam bentuk pasangan terurut a (a1, a2). Adapun vektor b mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal O(0, 0) ke titik B(b1, b2). Vektor b dapat kalian tuliskan sebagai b (b1, b2). Dengan menggunakan rumus jarak, kalian dapat menentukan panjang vektor a dan b ini, yaitu:

Dengan menarik ruas garis dari titik A ke titik B, kalian mendapatkan vektor c. Dengan menggunakan rumus jarak, vektor c ini dapat di tuliskan sebagai c = (b1 – a1, b2 – a2) sehingga panjang vektor c adalah

Jika arah vektor c dibalik, maka akan didapat vektor c, yaitu sebuah vektor yang panjangnya sama dengan panjang vektor c dengan arah berlawanan. Vektor ini disebut vektor invers dari vektor c. Jika ditulis dalam bentuk pasangan terurut, vector -c (a1 – b1, a 2 – b2). Panjangnya adalah

Untuk setiap vektor a yang bukan vektor nol, dapat ditentukan suatu vektor satuan dari vektor a, dilambangkan dengan eˆ . Vektor satuan arahnya searah dengan vektor a dan panjangnya sama dengan satu satuan.

Dengan pemahaman yang sama seperti vektor pada bidang (R2 ), kalian dapat memahami vektor pada ruang (R3 ). Misalnya, ambil sebarang titik A(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3) pada ruang (R3 ), maka kalian dapat menuliskan vektor a yang mewakili vektor OA dan vektor b yang mewakili vektor OB o dalam bentuk pasangan terurut sebagai berikut.

Untuk vektor pada ruang (R3 ), juga dapat ditentukan vektor

Operasi pada Vektor

  1. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Perhatikan titik-titik A(a1, a2), B(b1, b2), dan C(c1, c2) pada koordinat Cartesius berikut ini!

Pada gambar tersebut, vektor a, b, dan c dapat kalian tulis sebagai berikut.

Sekarang, jumlahkanlah vektor a dan b. Karena vektor merupakan matriks kolom, maka kalian dapat menjumlahkan vektor a dan b dengan menggunakan aturan penjumlahan matriks. Dengan aturan ini, akan diperoleh

Uraian tersebut menunjukkan bahwa a + b = c Secara geometris, penjumlahan antara vektor a dan b ini dapat kalian lakukan dengan dua cara, yaitu:

  • Cara segitiga

Dalam cara ini, titik pangkal vektor b berimpit ruas dengan titik ujung vektor a. Jumlah vektor a dan b didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b. Ruas garis ini diwakili oleh vektor c. Akibatnya, a + b = c

  • Cara jajargenjang

Misalkan, vektor a mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B dan vektor b mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal C ke titik D. Dalam cara jajargenjang, titik pangkal vektor a berimpit dengan titik pangkal vektor b, yaitu A = C.

Dengan membuat jajargenjang ABED, akan diperoleh

Seperti pada bilangan real, kalian dapat menuliskan a + (-b) = a – b. Secara geometris, kalian dapat mengurangkan a dengan b sebagai berikut.

Dengan menggunakan aturan penjumlahan dan pengurangan matriks kolom, kalian dapat menyatakan aturan penjumlahan dan pengurangan vektor sebagai berikut.

  • Perkalian Skalar dengan Vektor

Pada bagian sebelumnya, kalian telah mempelajari penjumlahan vektor. Apa yang terjadi jika vektor-vektor yang dijumlahkan adalah k vektor yang sama? Dalam penjumlahan tersebut, kalian akan mendapatkan sebuah vektor baru yang setiap komponen-komponennya diperoleh dengan mengalikan k dengan setiap komponen-komponen vektor u. Akibatnya, vektor baru tersebut segaris dengan vektor u dan memiliki panjang kIuI_.

Jika k skalar tak nol dan vektor u (u1, u2 , …, un), maka ku (ku1 , ku2, …, kun).

Dalam perkalian skalar dengan vektor ini, jika k > 0, maka vektor ku searah dengan vektor u. Adapun jika k ­< 0, maka vektor ku berlawanan arah dengan vektor u.

  • Sifat-Sifat Operasi Hitung pada Vektor

Vektor di R2 berhubungan dengan letak suatu titik pada sebuah bidang dengan pasangan bilangan (x, y) merupakan koordinat Cartesius dari suatu titik atau koordinat bidang.

Vektor R2 mempunyai pasangan bilangan (x, y, z) yang merupakan koordinat Cartesius dari suatu titik atau koordinat ruang ke tiga sumbu membentuk tiga bidang, yaitu bidang xy, bidang xz, dan bidang yz.

Ketiga bidang tersebut membagi ruang dimensi tiga menjadi 8 daerah seperti Gambar 5.10.

Sifat-sifat yang terdapat dalam operasi hitung vektor adalah sebagai berikut.

demikianlah artikel dari dosenmipa.com mengenai Perkalian Vektor, semoga artikel ini bermanfaat bagi anda semuanya.

baca juga :

Posting terkait: