Relasi dan Fungsi : Pengertian, Contoh, Macam, Sifat

Diposting pada
4.3/5 - (16 votes)

Relasi dan Fungsi

Di negara-negara berkembang, angka kriminalitas, angka kematian bayi, dan jumlah pengangguran cenderung tinggi. Adakah relasi antara tingkat perekonomian suatu negara dengan angka kriminalitas, angka kematian bayi, dan jumlah pengangguran. Apakah yang dimaksud dengan relasi? Di Kelas VIII, Anda telah mempelajari konsep relasi dan fungsi.


Pada bab ini, konsep tersebut akan dipelajari kembali dan dikembangkan sehingga dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Contoh penggunaan relasi pada kehidupan sehari-hari adalah sebagai berikut. Sebuah Perusahaan taksi menetapkan aturan Rp4.500,00 untuk “tarif buka pintu”. Selanjutnya, penumpang dibebankan argo Rp3.500,00 setiap 1 km.


Jika penumpang menempuh jarak 8 km, berapakah tarif taksi yang harus dibayar? Dengan konsep relasi dan fungsi, Anda dapat memecahkan masalah tersebut dengan lebih mudah.

Pengertian Relasi dan Fungsi

Pada pembahasan kali ini, Anda akan mempelajari perbedaan konsep relasi dan fungsi. Pelajarilah uraian berikut dengan baik.

  • Relasi

Dalam kehidupan sehari-hari, Anda tentunya sering mendengar kata “relasi”. Relasi memiliki arti hubungan. Dalam matematika, relasi diartikan sebagai hubungan antara dua himpunan. Perhatikan himpunan A dan B berikut ini.

A = {Rupiah, Rupee, Baht, Ringgit}

 B = {Indonesia, India, Thailand, Malaysia}

Dapatkah Anda melihat relasi atau hubungan antara himpunan A dan B? Anggota himpunan A terdiri atas nama-nama mata uang dan anggota himpunan B terdiri atas nama-nama negara. Jika Anda cermati maka Anda akan menemukan relasi antara anggota himpunan A dan B adalah sebagai berikut:

  • Rupiah merupakan mata uang Indonesia
  • Rupee merupakan mata uang negara india
  • Bath merupakan matauang Negara thailand
  • Ringgit merupaan mata uang Negara malaysia

negara”. Contoh lain relasi antara dua himpunan dapat Anda lihat dari dua pasang himpunan berikut ini.

  • C = {Jakarta, London, Cairo, Beijing}
  • D = {Indonesia, Inggris, Mesir, China}
  • E= {Indonesia, Brazil, Nigeria, Swiss}
  • F= {asia, amerika , afrika, eropa}

Anda telah mengetahui bahwa pada himpunan A dan himpunan B tersebut dapat ditemukan relasi atau hubungan. Dapatkah Anda menemukan relasi antara himpunan C dengan D? Juga relasi antara himpunan & dengan F? Diskusikan bersama teman Anda.


Untuk menyatakan relasi antara 2 himpunan, dapat digunakan 3 cara, yaitu diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Himpunan A dan B tersebut dapat dinyatakan dengan ketiga cara tersebut. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

  • Diagram Panah

Perhatikan diagram panah berikut. Rupiah Indonesia berarti rupiah merupakan mata uang Indonesia. Demikian pula untuk Rupee India, Baht Thailand, Ringgit Malaysia. Pada diagram panah, relasi antara dua anggota himpunan dari dua himpunan yang berbeda dinyatakan dengan anak panah. Perhatikan gambar berikut.

  • Diagram Cartesius

Perhatikan diagram Cartesius berikut.

Anggota himpunan A berada pada sumbu mendatar dan anggota himpunan B berada pada sumbu tegak. Setiap anggota A yang berelasi dengan anggota B dinyatakan dengan tanda noktah

  • Pasangan Berurutan

Relasi antara himpunan A dan B dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan seperti berikut ini

Artinya, rupiah merupakan mata uang negara Indonesia dapat dinyatakan dengan (Rupiah, Indonesia), begitu pula dengan (Rupee, India), (Baht, Thailand), (Ringgit, Malaysia). Oleh karena itu, relasi antara himpunan A dan B dapat dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan berikut {(Rupiah, Indonesia), (Rupee, India), (Baht, Thailand), (Ringgit, Malaysia)}

Untuk lebih memahami pengertian relasi, coba Anda perhatikan contoh-contoh relasi berikut.

Uraian tersebut memperjelas pengertian relasi, yaitu sebagai berikut.

Relasi antara dua himpunan adalah aturan yang memasangkan anggota-anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan yang lain.

  • Fungsi

Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah memahami pengertian dari relasi. Pada pembahasan kali ini, Anda akan mempelajari pengertian fungsi atau pemetaan. Fungsi atau pemetaan merupakan relasi yang bersifat khusus. Dapat diartikan juga bahwa setiap fungsi pasti merupakan relasi, tetapi tidak semua relasi merupakan fungsi. Coba Anda perhatikan contoh relasi (a), (b), (c), dan (d) pada pembahasan sebelumnya.

  • Pada relasi (a) ada anggota himpunan A, yaitu 1, 6, dan 8, yang memiliki pasangan lebih dari satu di himpunan B. Relasi seperti ini bukan merupakan fungsi.
  • Pada relasi (b) ada anggota himpunan A, yaitu 6, yang tidak memiliki pasangan di himpunan B. Relasi seperti ini bukan merupakan fungsi.
  • Pada relasi (c)setiap anggota himpunan A memiliki satu pasangan di himpunan B dan ada anggota himpunan B, yaitu 13, yang tidak memiliki pasangan di himpunan A, relasi seperti ini disebut fungsi.
  • Pada relasi (d) setiap anggota himpunan A memiliki satu pasangan di himpunan B dan ada anggota himpunan B, yaitu 35, yang memiliki pasangan lebih dari 1 di himpunan A. Berarti relasi (d) merupakan fungsi.
  • √ Deret Geometri : Pengertian, Contoh Soal dan Jawabannya

Perhatikan kembali relasi (c):

 A = {8, 10, 12} disebut daerah asal atau domain

B = {7, 9, 11, 13} disebut daerah kawan atau kodomain {7, 9, 11} disebut daerah hasil atau range

  • 7 merupakan bayangan dari 8 atau peta dari 8
  • 9 merupakan bayangan dari 8 atau peta dari 10
  • 11 merupakan bayangan dari 8 atau peta dari 12

Suatu fungsi dapat dinotasikan dengan huruf kecil seperti f, g, atau h.

f : 8 7 dibaca “fungsi f memetakan 8 ke-7”

g: 10 9 dibaca “fungsi g memetakan 10 ke-9”

h: 12 11 dibaca “fungsi h memetakan 12 ke-11”

Pada relasi (d)

A = {2, 3, 5, 7} disebut daerah asal atau domain

B = {4, 9, 35} disebut daerah kawan atau kodomain {4, 9, 35} disebut daerah hasil atau range

  • 4 merupakan bayangan dari 2 atau peta dari 2
  • 9 merupakan bayangan dari 3 atau peta dari 3
  • 35 merupakan bayangan dari 5 atau peta dari 5 dan 7

relasi yang memiliki ciri-ciri sebagai berikut:

  1. Setiap anggota domain hanya memiliki 1 pasangan anggota di daerah kodomain, tetapi anggota kodomain boleh memiliki pasangan lebih dari 1 anggota domain.
  2. Setiap anggota domain harus memiliki 1 pasangan anggota di daerah kodomain. Jadi, tidak ada anggota domain yang tidak memiliki pasangan, tetapi anggota kodomain boleh tidak memiliki pasangan anggota di daerah domain. Untuk lebih memahami konsep dari fungsi, perhatikanlah

Contoh Soal fungsi

Tentukan, apakah relasi berikut merupakan fungsi?

Jawab:

  1. Fungsi, karena setiap anggota himpunan P (domain) hanya memiliki 1 pasangan anggota di himpunan Q (kodomain).
  2. Bukan fungsi, karena ada anggota himpunan T, yaitu

B, memiliki pasangan lebih dari satu anggota di himpunan Q.

  1. Fungsi, karena setiap anggota himpunan R (domain) hanya memiliki 1 pasangan anggota di himpunan Q (kodomain).
  2. Bukan fungsi, karena ada anggota himpunan V, yaitu A, memiliki pasangan lebih dari satu anggota di himpunan W.

Fungsi Linear

Fungsi linear merupakan fungsi tak tentu yang paling sederhana. Untuk memahami konsep fungsi linear, perhatikanlah ilustrasi permasalahan berikut.


Pak Tono seorang pedagang jeruk. Ketika seseorang membeli 2 kg jeruk, dan membayar Rp8.000,00, kemudian pembeli lain membeli 3 kg jeruk, pembeli tersebut membayar Rp12.000,00. Selanjutnya, ada pembeli yang membeli 4 kg jeruk dan pak Tono mendapat Rp16.000,00. Berdasarkan uraian tersebut, dapat dibuat 2 buah himpunan, yaitu banyak jeruk terjual (kg) = {2, 3, 4} dan harga jeruk terjual (Rp) = {8.000, 12.000, 16.000}.


Jika himpunan banyak jeruk terjual merupakan domain dan harga jeruk terjual merupakan kodomain maka hubungan kedua himpunan tersebut dapat dinyatakan dengan diagram Cartesius berikut

Coba Anda amati diagram Cartesius pada Gambar 2.3. Dapatkah Anda menentukan fungsi atau aturan yang memasangkan antara anggota domain dengan kodomain? Jika x merupakan peubah yang menyatakan anggota domain, dan f(x) merupakan peubah yang menyatakan anggota kodomain, dapat diperoleh fungsi yang menghubungkan antara kedua himpunan tersebut adalah f(x) = 4.000x. Perhatikan uraian berikut

00 Amati noktah (titik) yang terbentuk pada diagram Cartesius pada Gambar 2.3. Jika noktah-noktah tersebut dihubungkan satu dengan yang lain ternyata membentuk garis lurus. Garis lurus yang terbentuk merupakan grafik fungsi f(x) = 4.000x pada bidang Cartesius. Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh bahwa f(x) = 4.000x merupakan fungsi linear

Dengan demikian, diperoleh grafik pada bidang Cartesius sebagai berikut

Pada grafik tersebut dapat dilihat bahwa grafik fungsi f(x) = 2 x + 4 pada bidang Cartesius berbentuk garis lurus, berarti f(x) = 2x + 4 merupakan fungsi linear. Uraian tersebut memperjelas definisi dari fungsi linear, yaitu sebagai berikut.

fungsi linear adalah fungsi yang peubahnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah y = f(x) = ax + b (a dan b R, a ≠ 0) untuk semua x dalam daerah asalnya.

Contoh Soal fungsi

Sebuah perusahaan travel memcatat penggunaan bahan bakar setiap 1 km dari mobil yang dioperasikannya. Datanya adalah sebagai berikut.

Dari ilustrasi tersebut, jawablah pertanyaan berikut.

  1. Tentukan fungsi linear yang menghubungkan antara jarak tempuh dengan bahan bakar yang dihabiskan.
  2. Jika mobil menempuh jarak 150 km, berapa liter bahan bakar yang dihabiskan?
  3. Jika mobil menghabiskan bahan bakar sebanyak 20 liter, berapa km jarak yang ditempuh mobil?

Jawab:

  1. Jikax merupakan peubah yang menyatakan jarak tempuh mobil dan f(x) menyatakan bahan bakar yang habis terpakai, diperoleh hubungan berikut.

Untuk x = 60 maka f(60) = 5

Untuk x = 90 maka f(60) = 7,5

f(x) merupakanfungsi linear maka f(x) dapat dimodelkan sebagai berikut.

Nilai b dapat ditentukan dengan menyubstitusikan peubah a pada persamaan (1) atau (2). Jika disubstitusikan ke persamaan (1) maka diperoleh

Jadi, fungsi yang menghubungkan jarak tempuh mobil

dengan x menyatakan jarak tempuh mobil dalam km, dan f(x) menyatakan bahan bakar yang terpakai dalam liter.

  1. Jika mobil menempuh jarak sejauh 150 km, berapa liter bahan bakar yang dihabiskan? Persoalan ini dapat diselesaikan

Jadi, jika mobil menempuh jarak sejauh 150 km maka mobil tersebut menghabiskan bahan bakar sebanyak 12,25 liter.

  1. Jika mobil menghabiskan bahan bakar sebanyak 20 liter, berapa jarak yang ditempuh mobil? Persoalan ini dapat diselesaikan

Jika a merupakan peubah yang menyatakan jarak yang ditempuh mobil saat menghabiskan bahan bakar sebanyak 20 liter maka diperoleh

Jadi, jika mobil menghabiskan bahan bakar sebanyak 20 liter maka mobil menempuh jarak sejauh 240 km.

demikianlah artikel dari dosenmipa.com mengenai Relasi dan Fungsi, semoga artikel ini bermanfaat bagi anda semuanya.