Pendahuluan
Daftar Isi Artikel
Persamaan linear – Tiga Variabel – Menemukan Konsep Sistem Persamaan linear Tiga Variabel
Konsep persamaan linear dan sistem persamaan linear dua variabel sudah kamu temukan dari masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budayamu. Dengan cara yang analog kita akan menemukan konsep sistem persamaan linear tiga variabel melalui penyelesaian masalah-masalah nyata.
Perbedaan sistem persamaan linear dua variabel dengan sistem persamaan linear tiga variabel terletak pada banyak variabel yang akan ditentukan nilainya. Sekarang cermati beberapa masalah yang diajukan. Nenek moyang kita memiliki keahlian seni ukir (seni pahat).
Mereka dapat membuat berbagai jenis patung, ornamen-ornamen yang memiliki nilai estetika yang cukup tinggi. Pak Wayan memiliki keterampilan memahat patung yang diwarisi dari Kakeknya. Dalam melakukan pekerjaannya, ia dibantu dua anaknya; yaitu Gede dan Putu yang sedang duduk di bangku sekolah SMK Jurusan Teknik Bangunan.
Masalah-3.4
Suatu ketika Pak Wayan mendapat pesanan membuat 3 ukiran patung dan 1 ornamen rumah dari seorang turis asal Belanda dengan batas waktu pembuatan diberikan selama 5 bulan. Pak Wayan dan Putu dapat menyelesaikan keempat jenis ukiran di atas dalam waktu 7 bulan.
Jika Pak Wayan bekerja bersama Gede, mereka dapat menyelesaikan pesanan dalam waktu 6 bulan. Karena Putu dan Gede bekerja setelah pulang sekolah, mereka berdua membutuhkan waktu 8 bulan untuk menyelesaikan pesanan ukiran tersebut. Dapatkah pesanan ukiran diselesaikan, sesuai batas waktu yang diberikan?
Sebelum kamu menyelesaikan masalah, manfaatkan pengetahuan dan keterampilan yang sudah kamu miliki untuk menemukan aturan, hubungan, dan struktur-struktur yang belum diketahui. Dalam menyelesaikan masalah di atas, langkah penyelesaiannya tersirat dalam beberapa pertanyaan berikut.
1) Bagaimana kamu menentukan kecepatan Pak Wayan, Putu, dan Gede bekerja menyelesaikan satu unit pesanan ukiran tersebut?
2) Dapatkah kamu menentukan hubungan tiap-tiap kecepatan untuk menyelesaikan pekerjaan dalam bentuk persamaan?
3) Apa yang kamu temukan dari hubungan-hubungan tersebut? Adakah kaitannya dengan pengetahuan yang kamu miliki dengan melakukan manipulasi aljabar?
4) Adakah variabel yang harus kamu tentukan nilainya? Bagaimana caranya, apakah prinsip analogi (cara yang mirip) dapat digunakan ketika kamu menentukan nilai variabel pada sistem persamaan dua variabel?.
5) Bagaimana hubungan antara konsep jarak dan kecepatan dalam menentukan lamanya waktu yang digunakan untuk menyelesaikan suatu pekerjaan?
6) Adakah jawaban permasalahan yang kamu temukan?
Alternatif Penyelesaian
Diketahui:
Pesanan pembuatan ukiran patung dan ornamen rumah dengan batas waktu 5 bulan. Waktu yang dibutuhkan membuat patung dan ornamen:
Pak Wayan dan Putu adalah 7 bulan
Pak Wayan dan Gede adalah 6 bulan
Putu dan Gede adalah 8 bulan
Ditanya: Waktu yang diperlukan bila ketiganya bekerja bersama-sama.
Misalkan: Waktu yang dibutuhkan (bulan) Pak Wayan adalah x
Waktu yang dibutuhkan (bulan) Putu adalah y
Waktu yang dibutuhkan (bulan) Gede adalah z
Berarti pekerjaan yang dapat diselesaikan Pak Wayan, Putu, dan Gede dengan waktu
- Bila Pak Wayan dan Putu bekerja bersama dalam satu bulan dapat menyelesaikan
- Bila Pak Wayan dan Gede bekerja bersama dalam satu bulan dapat menyelesaikan
- Bila Putu dan Gede bekerja bersama dalam satu bulan dapat menyelesaikan
- Temukan tiga persamaan linear yang saling terkait dari persamaan-1, 2, dan 3 di atas!
- Miasalkan p
Tentukan nilai p, q, dan r dengan memilih salah satu metode yang telah dipelajari sebelumnya! Sebagai alternatif pilihan adalah metode campuran eliminasi dan subtitusi.
Dengan menerapkan metode eliminasi pada persamaan-1 dan 2 diperoleh:
Dengan menerapkan metode eliminasi pada persamaan-3 dan 4 diperoleh
Karena x, y, dan z berturut-turut menyatakan waktu yang dibutuhkan Pak Wayan, Putu dan Gede menyelesaikan 1 set pesanan ukiran. Jika bekerja secara individual, maka Pak Wayan dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam waktu 10,84 bulan, Putu dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam waktu 19,76 bulan, dan I Gede dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam waktu 13,44 bulan. Jadi, waktu yang diperlukan Pak Wayan dan kedua anaknya untuk menyelesaikan 1 set pesanan ukiran patung dan ornamen, jika mereka bekerja secara bersama-sama adalah
Karena waktu yang diberikan turis adalah 5 bulan, maka ternyata pekerjaan (pesanan) tersebut dapat diterima dan dipenuhi.
Cermati masalah petani di daerah Toba berikut ini! Mata pencaharian rakyat di Daerah Tapanuli pada umumnya adalah sebagai petani padi dan palawija, karyawan perkebunan sawit, karet, dan coklat, dan sebagai pedagang (khususnya yang tinggal di daerah wisata Danau Toba). Keterkaitan dan kebergunaan Matematika (khususnya materi sistem persamaan linear) untuk menyelesaikan masalah yang dialami para petani, karyawan, dan para pedagang dapat dicermati lebih jauh.
Ketika kita menyelesaikan masalah-masalah tersebut menggunakan kerja matematika (coba-gagal, matematisasi, pemodelan masalah secara Matematika, melakukan abstraksi, idealisasi, dan generalisasi), kita temukan konsep dan aturan-aturan Matematika secara formal. Sekarang mari kita angkat sebuah permasalahan yang dihadapi para petani padi di Kecamatan Porsea di Kabupaten Toba Samosir. Permasalahannya terkait pemakaian pupuk yang harganya cukup mahal.
Masalah-3.5
Pak Panjaitan memiliki dua hektar sawah yang ditanami padi dan sudah saatnya diberi pupuk. Terdapat tiga jenis pupuk (Urea, SS, TSP} yang harus digunakan agar hasil panen padi lebih maksimal. Harga per karung setiap jenis pupuk adalah Rp75.000,00; Rp120.000,00; dan Rp150.000,00. Banyak pupuk yang dibutuhkan Pak Panjaitan sebanyak 40 karung.
Pemakaian pupuk Urea 2 kali banyaknya dari pupuk SS. Sementara dana yang disediakan Pak Panjaitan untuk membeli pupuk adalah Rp4.020.000,00. Berapa karung untuk setiap jenis pupuk yang harus dibeli Pak Panjaitan.
Sebelum kamu menyelesaikan masalah tersebut, kira-kira apa tujuan masalah tersebut dipecahkan terkait materi. Pikirkan strategi apa yang kamu gunakan untuk mencapai tujuan. Jika kamu mengalami kesulitan silahkan berdiskusi dengan teman atau bertanya kepada guru. Sebagai arahan/petunjuk pengerjaan masalah, ikuti pertanyaan-pertanyaan berikut!
1) Bagaimana kamu menggunakan variabel menyatakan banyak pupuk yang digunakan untuk setiap jenisnya dan hubungan pemakaian antar jenis pupuk?
2) Bagaimana kamu menggunakan variabel menyatakan hubungan harga setiap jenis pupuk dengan dana yang tesedia?
3) Apa yang kamu temukan dari hubungan-hubungan tersebut? Adakah terkait dengan pengetahuan yang kamu miliki dengan melakukan manipulasi aljabar?
4) Apakah ada kesulitan yang harus kamu diskusikan dengan teman atau bertanya pada guru untuk menentukan hubungan antar variabel, melakukan manipulasi aljabar, kepastian strategi yang kamu pilih ?
5) Adakah variabel yang harus kamu tentukan nilainya? Bagaimana caranya, apakah prinsip analogi (cara yang mirip) dapat digunakan ketika kamu menentukan nilai variabel pada sistem persamaan dua variabel?
6) Berapa sak pupuk yang harus dibeli Pak Panjaitan untuk setiap jenisnya? Masuk akalkah jawaban kamu?
Alternatif Penyelesaian
Diketahui:
– Tiga jenis pupuk: Urea, SS, TSP. Harga per karung untuk setiap jenis pupuk Rp75.000,00; Rp120.000,00; dan Rp150.000,00.
– Banyak pupuk yang dibutuhkan 40 karung.
– Pemakaian pupuk Urea 2 kali lebih banyak dari pupuk SS.
– Dana yang tersedia Rp4.020.000,00
Ditanya:
Berapa karung untuk tiap-tiap jenis pupuk yang harus dibeli Pak Panjaitan? Misalkan:
x adalah banyak pupuk Urea yang dibutuhkan (karung)
y adalah banyak pupuk SS yang dibutuhkan (karung)
z adalah banyak pupuk TSP yang dibutuhkan (karung)
Berdasarkan informasi di atas diperoleh hubungan-hubungan sebagai berikut.
Untuk menentukan nilai y atau z, terapkan metode eliminasi terhadap Persamaan-4 dan Persamaan-5.
demikianlah artikel dari dosenmipa.com mengenai Persamaan linear Tiga Variabel, semoga artikel ini bermanfaat bagi anda semuanya.
