barisan dan deret aritmatika
Daftar Isi Artikel
Barisan Dan Deret Aritmatika – Menemukan Pola Barisan dan Deret Amati dan kritisi masalah nyata kehidupan yang dapat dipecahkan secara arif dan kreatif melalui proses matematisasi. Dalam proses pembelajaran barisan dan deret, berbagai konsep dan aturan matematika terkait barisan dan deret akan ditemukan melalui pemecahan masalah, melihat pola susunan bilangan, menemukan berbagai strategi sebagai alternatif pemecahan masalah.
Kita akan mempelajari beberapa kasus dan contoh yang berkaitan dengan barisan dan deret pada bab ini. Barisan suatu objek membicarakan masalah urutannya dengan aturan tertentu. Aturan yang dimaksud adalah pola barisan. Kita memerlukan pengamatan terhadap suatu barisan untuk menemukan pola.
Contoh soal baris dan deret
Masalah-6.1
Beberapa kelereng dikelompokkan dan disusun sehingga setiap kelompok tersusun dalam bentuk persegi sebagai berikut:
Kelereng dihitung pada setiap kelompok dan diperoleh barisan: 1, 4, 9, 16, 25.
Permasalahan: Dapatkah kamu temukan bilangan berikutnya pada barisan tersebut? Dapatkah kamu temukan pola barisan tersebut? Tentukan banyak kelereng pada kelompok ke-15?
Alternatif Penyelesaian
- Kemungkinan metode yang dapat digunakan adalah membuat susunan benda berikutnya dan menghitung kembali banyak kelereng pada susunan itu. Alternatif penyelesaian ini tidak efektif dan tidak efisien karena harus menyusun kembali banyak kelereng untuk kelompok berikutnya.
- Alternatif penyelesaian lainnya adalah menemukan pola barisan tersebut. Perhatikan tabel berikut!
Dengan pola barisan pada tabel di atas, bilangan berikutnya adalah K6 = 6 × 6 = 36 dan bilangan pada K15 = 15 × 15 = 225.
- Apakah ada pola yang lain pada barisan tersebut? Silahkan amati kembali tabel berikut!
Jadi pola barisan adalah K n = n + n x (n -1 ) sehingga bilangan berikutnya adalah K6 = 6 + 6 × 5 =36 dan bilangan pada K15 = 15 + 15 × 14 =225.
Kamu dapat dengan mudah menentukan bilangan-bilangan berikutnya pada sebuah barisan bilangan jika dapat menemukan pola barisannya. Silahkan pelajari pola barisan pada beberapa contoh berikut.
Contoh 6.1
Perhatikan barisan huruf berikut:
A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D … Amatilah barisan huruf tersebut terlebih dahulu! Tentukanlah huruf pada urutan 25 × 33 !
Penyelesaian
Pertama, kita perlihatkan urutan setiap huruf pada barisan, sebagai berikut:
Jika kamu amati dengan teliti, kelompok huruf ABBCCCDDDD pada urutan 1 sampai 10 berulang. Perulangan kelompok huruf terjadi pada setiap kelipatan 10 huruf pertama. Jadi, huruf pada urutan 1 sama dengan huruf pada urutan 11, urutan 21, urutan 31, dan seterusnya.
Kedua, huruf pada urutan 25 × 33 adalah huruf pada urutan 32 × 27 = 864 atau 864 = 860 + 4 = 86 × 10 + 4 sehingga perulangan kelompok huruf tersebut mengalami perulangan sebanyak 86 kali. Dengan demikian, huruf pada urutan ke-864 sama dengan huruf pada urutan ke-4 atau C. Perhatikan tabel di bawah ini!
Contoh 6.2
Sebuah barisan bilangan dituliskan sebagai berikut: 12345678910111213141516171 81920212223242526… sehingga suku ke-10 = 1, suku ke-11 = 0, suku ke-12 = 1 dan seterusnya. Dapatkah anda temukan bilangan yang menempati suku ke-2004?
Penyelesaian
Mari kita amati kembali barisan tersebut, sebagai berikut:
Kita akan mencari bilangan yang menempati suku ke-2004 dengan menghitung banyak suku pada bilangan satuan, puluhan, dan ratusan sebagai berikut:
Langkah 1. Mencari banyak suku pada barisan bilangan satuan (1 sampai 9):
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Banyak suku pada barisan bilangan satuan adalah 1 × 9 = 9 suku.
Langkah 2. Mencari banyak suku pada barisan bilangan puluhan (10 sampai 99)
10, 11, 12, 13, …,19 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku
20, 21, 22, 23, …,29 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku
90, 91, 92, 93, …, 99 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku
Banyak suku pada barisan bilangan puluhan adalah 9 × 20 = 180 suku.
Jadi, banyak suku pada barisan 1 sampai 99 adalah 9 + 180 = 189 suku.
Langkah 3. Mencari banyak suku pada barisan bilangan ratusan (100 sampai 999)
Jika ratusan (100 sampai 99)
100, 101, 102, 103, …, 109 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku
110, 111, 112, 113, …, 119 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku
120, 121, 122, 123, …, 129 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku
690, 691, 692, 693, …, 699 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku
Banyak suku untuk barisan bilangan ratusan dengan ratusan 1 sampai 6 adalah 6 × 10 × 30 = 1800 suku
Jadi terdapat sebanyak 9 + 180 + 1800 = 1989 suku pada barisan bilangan 1 sampai dengan 699 sehingga suku ke-1989 adalah 9. Suku berikutnya (suku ke-1990) adalah barisan bilangan dengan ratusan sebagai berikut.
Contoh 6.3
Penyelesaian Jika un adalah suku ke-n dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3,… maka barisan di atas disajikan dalam tabel berikut.
Jika sn adalah jumlah n suku pertama dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3, … maka deret dari barisan di atas disajikan dalam tabel berikut.
Barisan Aritmetika
Perhatikan gambar tumpukan jeruk di samping ini! Bagaimana cara menentukan atau menduga banyak buah dalam satu tumpukan?
Alternatif Penyelesaian
Jika diperhatikan Gambar 6.5, maka diperoleh susunan dari beberapa jeruk. Jeruk itu dapat disusun membentuk sebuah piramida. Jumlah jeruk pada bagian bawah tumpukan akan lebih banyak dibandingkan pada susunan paling atas. Misalkan susunan jeruk tersebut disederhanakan menjadi sebuah susunan segitiga, seperti Gambar 6.6.
Mengapa harus dengan susunan segitiga, coba lakukan dengan susunan segi empat. Apa yang kamu temukan?
Banyaknya bulatan yang tersusun dari setiap kelompok dapat dituliskan dengan bilangan, yaitu 1, 3, 6, 10, 15. Bilangan tersebut membentuk barisan perhatikan polanya pada Gambar 6.7 berikut.
Ternyata beda antara setiap dua bilangan yang berdekatan membentuk barisan yang baru yaitu 2, 3, 4, 5,… Perhatikan skemanya pada Gambar 6.8 berikut. Beda setiap dua bilangan yang berdekatan pada barisan 2, 3, 4, 5,… adalah tetap yaitu 1. Dengan demikian barisan 2, 3, 4, 5,… disebut “Barisan Aritmetika” dan barisan 1, 3, 6, 10, 15, … disebut “Barisan Aritmetika Tingkat Dua”
demikianlah artikel dari dosenmipa.com mengenai Barisan Dan Deret Aritmatika, semoga artikel ini bermanfaat bagi anda semuanya.