√ Contoh Soal Logika Matematika : Pernyataan, Kalimat Terbuka, Ingkaran

Diposting pada

Pernyataan dan Kalimat Terbuka

  1. Pernyataan

Sebelum Anda mempelajari definisi pernyataan, perhatikanlah beberapa contoh berikut.

Manusia adalah makhluk hidup

  • Air sungai mengalir dari hulu ke hilir
  • Indonesia terletak di kutub utara
  • 2 + 2 = 5
  • 4,5 adalah bilangan asli

Kalimat-kalimat dalam logika haruslah mengandung nilai kebenaran, baik itu bernilai benar ataupun salah. Jadi, pernyataan dapat didefinisikan sebagai berikut. A Pernyataan dan Kalimat Terbuka

Suatu pernyataan (atau proposisi) adalah suatu kalimat yang bernilai benar saja atau salah saja. Dengan kata lain, tidak sekaligus kedua-duanya.

Dalam logika, suatu penyataan disimbolkan dengan huruf kecil, seperti p, q, r, s, dan sebagainya, misalnya pada pernyataan-pernyataan berikut.

p : Tiga puluh sembilan adalah bilangan prima

q : 39 – 8 > 20

Tidak semua kalimat merupakan pernyataan. Kalimatkalimat yang tidak mengandung nilai kebenaran, seperti kalimat perintah, kalimat tanya, dan kalimat harapan bukan merupakan pernyataan. Kalimat yang nilai kebenarannya relatif juga bukan pernyataan. Berikut ini adalah kalimat-kalimat yang bukan pernyataan

  1. Berapa nilai ulanganmu? (kalimat tanya)
  2. Tolong buka pintunya! (kalimat perintah)
  3. Mudah-mudahan besok hujan. (kalimat harapan)
  4. Barang ini mahal.

Kalimat ke-4 bukan merupakan pernyataan karena kalimat ini memiliki nilai ke benarannya relatif, yaitu ukuran mahal untuk setiap orang bisa berbeda. Menurut seseorang mahal, bisa jadi menurut orang lain tidak mahal.

  1. Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat terbuka selalu mengandung peubah-peubah atau variabel-variabel. Perhatikan beberapa kalimat berikut.

  • x + 2 < 4, x bilangan real.
  • y = 2x + 1, x dan y bilangan real.
  • B dijuluki kota hujan.

Kalimat-kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar atau salahnya, sehingga kalimat-kalimat itu belum dapat dikatakan sebagai pernyataan. Kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya disebut Kalimat Terbuka. Ciri kalimat terbuka adalah adanya peubah atau variabel.

Pada x + 2 < 4, variabelnya adalah x. Untuk y = 2x + 1 memiliki 2 variabel, yaitu x dan y. Adapun untuk “B dijuluki kota hujan” variabelnya adalah B.

Kalimat terbuka dapat diubah menjadi suatu pernyataan jika peubah-peubah atau variabel-variabel dalam kalimat tersebut diganti dengan suatu nilai (dapat berupa bilangan, nama kota, nama penyanyi dan sebagainya) sehingga kalimat tersebut mempunyai nilai kebenaran. Kalimat terbuka pada kalimat-kalimat tersebut dapat menjadi pernyataan yang benar jika peubahnya berturut-turut diganti dengan x = 1, x = 0 dan y = 3, dan B = Bogor.

Nilai-nilai untuk peubah pada kalimat terbuka yang membuat kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan yang benar disebut penyelesaian. Himpunan dari nilai-nilai ini disebut himpunan penyelesaian.

Himpunan penyelesaian x + 2 < 4 adalah {Ώ7x < 2, x R}. Himpunan penyelesaian y = 2x + 1 adalah {(x, y) Ώ y = 2x + 1, x, y R}. Himpunan penyelesaian dari “B dijuluki kota hujan” adalah {Bogor}. Jika peubah dalam kalimat terbuka tidak diganti dengan nilai-nilai pada himpunan penyelesaiannya, kalimat terbuka tersebut akan menjadi pernyataan yang salah. Misalny

  • Kalmiat x + 2 < 4, x bilangan real” akan menjadi pernyataan salah jika x diganti dengan 3
  • Kalimat y = 2x + 1, x dan y bilangan real” akan menjadi pernyataan salah jika x dan y berturut-turut diganti dengan 0 dan 4
  • Kalimat B dijuluki kota hujan” akan menjadi pernyataan salah jika B diganti dengan Bali

  1. Ingkaran

Suatu pernyataan yang diperoleh dari pernyataan sebelumnya dan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan sebelumnya disebut ingkaran atau negasi. Ingkaran dari suatu pernyataan diperoleh dengan menambahkan kata “bukan” pada pernyataan tersebut. Berikut adalah definisi ingkara

Contoh soal

Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut, kemudian tentukanlah nilai kebenarannya.

  1. p: Ibukota Jawa Barat adalah Surabaya.
  2. q: Pinguin bukan burung.
  3. r: 1 + 1 = 2
  4. t: Semua bilangan cacah adalah bilangan real.
  5. u: utang dagang termasuk pada kewajiban.

  • Pernyataan Majemuk

Pada bagian sebelumnya, pernyataan-pernyataan yang Anda pelajari lebih banyak merupakan pernyataan-pernyataan tunggal. Jika pernyataan-pernyataan tunggal ini digabungkan menggunakan kata dan, atau, jika…maka…, atau …jika dan hanya jika… maka akan terbentuk suatu pernyataan majemuk. Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut.

  • Pontianak adalah ibukota propinsi Kalimantan barat
  • Pontianak dilalui garis katulistiwa

Kedua pernyataan tersebut adalah pernyataan tunggal. Kedua pernyataan tunggal tersebut jika Anda gabung dengan kata hubung “dan” akan menjadi kalimat majemuk, “Pontianak adalah ibu kota provinsi Kalimatan Barat dan dilalui garis khatulistiwa”.

Terdapat empat bentuk pernyataan majemuk yang terbentuk dari dua pernyataan, yaitu konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.

  • Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata “dan”. Kata “dan” dilambangkan dengan ” “. Jika p dan q pernyataan tunggal maka konjungsi dari p dan q dinyatakan dengan

Contoh soal

Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan maka terdapat 4 kemungkinan komposisi nilai kebenaran dari p dan q pada suatu konjungsi p q. Komposisi-komposisi tersebut di antaranya: t

  • p benar dan q benar
  • p benar dan q salah
  • p salah dan q benar
  • p salah dan q salah

Konjungsi hanya bernilai benar jika kedua pernyataannya bernilai benar. Selain dari itu bernilai salah. Pada Contoh Soal diatas keempat konjungsi bernilai benar. Nilai-nilai kebenaran dari suatu konjungsi dapat ditunjukkan dengan tabel nilai kebenaran sebagai berikut

  • Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata “atau”. Kata atau dilambangkan dengan “⁄”. Jika p dan q pernyataan tunggal maka disjungsi dari p dan q dinyatakan denga

Perhatikan beberapa pernyataan disjungsi berikut.

  1. Timor Leste terletak di Timur Tengah atau di Asia Tenggara.
  2. Air adalah zat cair atau padat.
  3. Akar dari x2 = 2 adalah –2 atau 2. 4. Kas adalah jumlah uang yang tersedia di tangan atau uang perusahaan yang disimpan di bank. Seperti juga konjungsi, terdapat 4 kemungkinan komposisi dari p dan q pada suatu disjungsi p⁄q, yaitu
  • p benar dan q benar
  • p benar dan q salah
  • p salah dan q benar
  • p salah dan q sala

Disjungsi hanya bernilai salah jika kedua pernyataannya bernilai salah. Selain dari itu, disjungsi bernilai benar. Perhatikan tabel nilai kebenaran berikut.

1 “Timor Leste terletak di Timur Tengah” adalah pernyataan salah dan “Timor Leste terletak di Asia Tenggara” adalah pernyataan benar maka disjungsi bernilai benar.

  1. “Air adalah zat cair” merupakan pernyataan benar dan “air adalah zat padat” merupakan pernyataan salah maka disjungsi bernilai benar.
  2. “Akar dari x2 = 2 adalah –2″ merupakan pernyataan benar dan “akar dari x2 = 2 adalah 2″ merupakan pernyataan benar maka disjungsi bernilai benar.
  3. “Kas adalah jumlah uang yang tersedia di tangan” adalah pernyataan yang benar dan “Kas adalah uang perusahaan yang disimpan di bank” adalah pernyataan yang benar maka konjungsi bernilai bena

  • Ingkaran dari Konjungsi dan Dis jungsi

  1. Ingkaran dari Konjungsi Ingkaran dari suatu konjungsi mempunyai nilai yang berlawanan dari konjungsi sebelumnya. Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan maka tabel nilai kebenaran dari konjungsi dan ingkarannya adalah sebagai berikut

B Perhatikan contoh soal berikut agar Anda memahami cara menarik ingkaran dari pernyataan yang mengandung konjungs

  • Ingkaran dari Disjungsi

Ingkaran dari suatu disjungsi mempunyai nilai yang berlawanan dari disjungsi sebelumnya. Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan, maka tabel nilai kebenaran dari disjungsi dan ingkarannya adalah sebagai beri

  • Implikasi

Implikasi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan yang dihubungkan dengan “jika … maka ….” Implikasi dilambangkan dengan ” “. Jika p dan q adalah pernyataan, maka implikasi “jika p maka q” ditulis p  q. Implikasi merupakan pernyataan sebab akibat. Pada implikasi p q, maka p disebut sebab atau alasan, dan q disebut akibat atau kesimpulan. Berikut adalah pernyataan-pernyataan impl

Sama seperti konjungsi dan disjungsi, terdapat empat kemungkinan komposisi nilai kebenaran dari pernyataanpernyataan pada suatu implikasi, yaitu sebagai berikut.

  • Jika p (alasan) benar maka q (kesimpulan) benar
  • Jika p (alasan) benar maka q (kesimpulan) salah
  • Jika p (alasan) salah maka q (kesimpulan) benar
  • Jika p (alasan) salah maka q (kesimpulan) salah

Implikasi hanya bernilai salah jika pernyataan yang merupakan kesimpulannya bernilai salah. Perhatikan tabel nilai kebenaran berikut.

  • Biimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata. Jika dan hanya jika… Kata “Implikasi” dilambangkan dengan . Jika p dan q adalah pernyataan, maka biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dinyatakan dengan p q. Misalkan

Biimplikasi bernilai benar jika kedua pernyataan yang menyusunnya benar atau kedua pernyataan yang menyusunnya salah. Perhatikan tabel nilai kebenaran berikut.

demikianlah artikel dari dosenmipa.com mengenai Contoh Soal Logika Matematika, semoga artikal ini bermanfaat bagi anda semuanya.