Contoh Soal Matriks

Pengertian Determinan Matriks

Determinan Matriks ialah suatu bilangan real yang diperoleh dari suatu proses dengan aturan tertentu terhadap matriks bujur sangkar.

Determinan dinyatakan sebagai jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari matriks bujur sangkar A. Determinan dari sebuah matriks bujur sangkar A’ dinotasikan dengan det(A), atau |A|.

Jenis-jenis Determinan Matriks

a. Determinan Matriks Ordo 2 × 2

Misalkan A = adalah matriks yang berordo 2 × 2 dengan elemen a dan d terletak pada diagonal utama pertama, sedangkan b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan matriks A dinotasikan ”det A” atau |A| adalah suatu bilangan yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.

Dengan demikian, dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut.

det A =  = ad – bc

Contoh Soal 1 :

Tentukan determinan matriks-matriks berikut:

a. A =

b.B =

Penyelesaian :

• det A =  = (5 × 3) – (2 × 4) = 7

• det B =  = ((–4) × 2) – (3 × (–1)) = – 5

b. Determinan Matriks Ordo 3 × 3 (Pengayaan)

Jika A =   adalah matriks persegi berordo 3 × 3,

determinan A dinyatakan dengan det A =

Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menentukan determinan matriks       berordo 3 × 3, yaitu aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor.

• Aturan Sarrus

Untuk menentukan determinan dengan aturan Sarrus, perhatikan alur berikut. Misalnya, kita akan menghitung determinan matriks A_{3 × 3}. Gambaran perhitungannya adalah sebagai berikut.

• Metode Minor-Kofaktor

Misalkan matriks A dituliskan dengan [a_ij]. Minor elemen aij yang dinotasikan dengan M_ij adalah determinan setelah elemen-elemen baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya, dari matriks A_{3 × 3} kita hilangkan baris ke-2 kolom ke-1 sehingga :

Akan diperoleh M₂₁ =  . M₂₁ adalah minor dari elemen matriks A baris ke-2 kolom ke-1 atau M₂₁ = minor a₂₁. Sejalan dengan itu, kita dapat memperoleh minor yang lain, misalnya :

M₁₃ =

Kofaktor elemen aij, dinotasikan K_ij adalah hasil kali (–1)^i+j dengan minor elemen tersebut. Dengan demikian, kofaktor suatu matriks dirumuskan dengan :

K_ij = (–1)^i+j M_ij

Dari matriks A di atas, kita peroleh misalnya kofaktor a₂₁ dan a₁₃ berturut-turut adalah

K₂₁ = (–1)²⁺¹ M₂₁ = –M₂₁ =

K₁₃ = (–1)¹⁺³ M₁₃ = M₁₃ =

Kofaktor dari matriks A_{3 × 3} adalah kof(A) =

Nilai dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahan dari perkalian elemen-elemen suatu baris (atau kolom) dengan kofaktornya. Untuk menghitung determinan, kita dapat memilih dahulu sebuah baris (atau kolom) kemudian kita gunakan aturan di atas.

Sifat-Sifat Determinan Matriks

Berikut sifat-sifat determinan yang terdapat pada matriks.

1. Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nol, maka det(A) = 0.
   

Contoh :

misal matriks A =

dengan menggunakan Aturan Kofaktor, maka

det(A) =

= a₃₁M₃₁ – a₃₂M₃₂ + a₃₃M₃₃

= 

= 0(2.1 – 3.0) – 0(1.1 – 1.3) + 0(1.0 – 1.2)

= 0

2. Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama, yakni det(A) = a₁₁a₂₂… a_nn

Contoh :

det(A) =

= a₃₁M₃₁ – a₃₂M₃₂ + a₃₃M₃₃

=

= 0(1.1 – 3.3) – 0(2.1 – 0.3) + 3(2.3 – 0.1)

= 0 – 0 + 3.2.3

= 18

Hasil ini sama dengan perkalian entri pada diagonal utama yaitu 2 x 3 x 3 = 18

3. Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det(A’) = k det(A)

Contoh :

misal k = 2 dan A =  maka kA =

det(A) =

berdasarkan Sifat 3 maka det(kA) = det(A’) = 4.3.3 = 36

karena det(A) = 18 dan k = 2 maka k.det(A) = 2.18 = 36

jadi, det(A’) = k.det(A)

4. Misalkan A, A’ dan A” adalah matriks n x n yang hanya berbeda dalam baris tunggal, katakanlah baris ke-r, dan anggap bahwa baris ke r dari A” dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke-r dari A dan dalam baris ke-r dari A’, maka det(A”) = det(A) + det(A’) [hasil yang serupa juga berlaku untuk kolom]

Contoh :

misal

A =  maka det(A) = (1.3 – 4.2) = -5

A’ =  maka det(A) = (4.2 – 1.3) = 5

dan A” = A + A’ =  maka det(A”) = (5.5 – 5.5) = 0

jadi det(A”) = det(A) + det(A’) = -5 + 5 = 0

Kesimpulan

Pada dasarnya dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan kata lain kita selalu bersentuhan dengan persoalan-persoalan yang berkaitan dengan matematika entah itu kita sadari ataupun tidak. Agar mudah difahami maka persoalan tersebut diubah kedalam bahasa atau persamaan matematika supaya persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya.

Adapun matriks sendiri merupakan susunan elemen-elemen yang berbentuk persegi panjang yang di atur dalam baris dan kolom dan di batasi sebuah tanda kurung di sebut matriks.