Program linear adalah salah satu topik penting dalam matematika SMA yang kerap muncul dalam ujian sekolah maupun seleksi masuk perguruan tinggi. Materi ini tidak hanya berbicara tentang rumus, tetapi juga kemampuan menganalisis cerita, mengubahnya ke dalam model matematika, lalu menyelesaikannya dengan metode grafik atau substitusi. Di artikel ini, redaksi passinggrade.co.id akan mengulas secara panjang dan detail tentang contoh soal program linear cerita, lengkap dengan langkah pengerjaan, agar mudah dipahami oleh pembaca.
“Menurut saya, program linear itu seperti jembatan antara kehidupan nyata dengan dunia matematika. Dari cerita sederhana tentang usaha atau produksi, kita bisa belajar bagaimana mengoptimalkan keuntungan dengan cara yang sistematis.”
Apa Itu Program Linear
Sebelum masuk ke contoh soal, penting untuk memahami definisi program linear terlebih dahulu. Program linear adalah metode matematika yang digunakan untuk menentukan nilai optimum, baik maksimum maupun minimum, dari suatu fungsi linear dengan syarat tertentu yang juga berbentuk linear.
Dalam kehidupan sehari hari, konsep ini bisa ditemukan pada perhitungan biaya produksi, keuntungan usaha, atau pembatasan sumber daya. Siswa biasanya diminta untuk menyusun model matematika berdasarkan informasi cerita.
Bentuk Umum Soal Program Linear Cerita
Soal cerita biasanya disajikan dalam bentuk narasi tentang usaha, produksi, atau pengalokasian sumber daya. Bentuk umum dari soal ini terdiri dari:
- Variabel keputusan yang mewakili jumlah barang atau kegiatan.
- Fungsi tujuan yang ingin dimaksimalkan atau diminimalkan.
- Kendala atau syarat yang membatasi jumlah produksi atau kegiatan.
- Metode penyelesaian dengan grafik atau substitusi.
Contoh Soal Program Linear Cerita tentang Produksi
Mari kita lihat contoh soal yang sering muncul:
Soal:
Sebuah toko roti memproduksi dua jenis roti, yaitu roti manis dan roti tawar. Untuk membuat 1 roti manis dibutuhkan 100 gram tepung dan 1 butir telur, sedangkan untuk membuat 1 roti tawar dibutuhkan 150 gram tepung dan 2 butir telur. Persediaan bahan adalah 6 kg tepung dan 60 butir telur. Keuntungan dari satu roti manis adalah Rp2000, sedangkan keuntungan dari satu roti tawar Rp3000. Tentukan banyaknya roti manis dan roti tawar agar keuntungan maksimum.
Langkah Penyelesaian:
- Misalkan roti manis = x, roti tawar = y.
- Fungsi tujuan: Z = 2000x + 3000y.
- Kendala:
- Tepung: 100x + 150y ≤ 6000
- Telur: 1x + 2y ≤ 60
- x ≥ 0, y ≥ 0
- Gambar grafik kendala dan cari daerah penyelesaian.
- Uji titik sudut untuk mendapatkan keuntungan maksimum.
Contoh Soal Program Linear Cerita tentang Usaha
Selain produksi, program linear juga bisa muncul dalam cerita usaha atau jasa. Berikut contoh soal:
Soal:
Seorang pedagang menjual dua jenis minuman, jus jeruk dan jus apel. Modal untuk membuat satu gelas jus jeruk adalah Rp4000, sedangkan jus apel Rp5000. Modal yang tersedia adalah Rp200.000. Pedagang hanya memiliki waktu untuk membuat paling banyak 40 gelas jus dalam sehari. Jika keuntungan jus jeruk Rp3000 per gelas dan keuntungan jus apel Rp3500 per gelas, berapa jumlah jus yang harus dibuat agar keuntungan maksimum?
Penyelesaian:
- Variabel: jus jeruk = x, jus apel = y.
- Fungsi tujuan: Z = 3000x + 3500y.
- Kendala:
- Modal: 4000x + 5000y ≤ 200000
- Kapasitas: x + y ≤ 40
- x ≥ 0, y ≥ 0
- Tentukan titik sudut daerah penyelesaian, lalu hitung nilai Z pada tiap titik.
Contoh Soal Program Linear Cerita tentang Pertanian
Program linear juga sering dikaitkan dengan pertanian atau pemanfaatan lahan.
Soal:
Seorang petani memiliki lahan seluas 2 hektar. Ia ingin menanam padi dan jagung. Untuk menanam 1 hektar padi diperlukan biaya Rp5 juta, sedangkan untuk menanam 1 hektar jagung diperlukan biaya Rp3 juta. Modal yang tersedia Rp8 juta. Jika keuntungan 1 hektar padi Rp6 juta dan keuntungan 1 hektar jagung Rp4 juta, tentukan kombinasi lahan yang memberikan keuntungan maksimum.
Penyelesaian:
- Variabel: padi = x, jagung = y.
- Fungsi tujuan: Z = 6000000x + 4000000y.
- Kendala:
- Lahan: x + y ≤ 2
- Biaya: 5000000x + 3000000y ≤ 8000000
- x ≥ 0, y ≥ 0
- Cari daerah penyelesaian lalu tentukan nilai optimum dari fungsi tujuan.
Contoh Soal Program Linear Cerita tentang Transportasi
Selain usaha dan pertanian, ada juga soal yang berkaitan dengan transportasi.
Soal:
Sebuah perusahaan travel memiliki dua jenis kendaraan, minibus dan bus besar. Minibus mampu mengangkut 10 penumpang dengan biaya operasional Rp500.000 per hari, sedangkan bus besar mampu mengangkut 30 penumpang dengan biaya Rp1.200.000 per hari. Anggaran yang tersedia Rp6.000.000 per hari. Jika perusahaan ingin mengangkut minimal 120 penumpang, berapa jumlah kendaraan yang harus dioperasikan dengan biaya paling minimum?
Penyelesaian:
- Variabel: minibus = x, bus besar = y.
- Fungsi tujuan: Z = 500000x + 1200000y.
- Kendala:
- Penumpang: 10x + 30y ≥ 120
- Anggaran: 500000x + 1200000y ≤ 6000000
- x ≥ 0, y ≥ 0
- Tentukan daerah penyelesaian, lalu cari nilai minimum dari Z.
Contoh Soal Program Linear Cerita dalam Kehidupan Sehari Hari
Kadang soal diberikan dengan konteks sederhana seperti pembagian waktu atau kegiatan harian.
Soal:
Andi ingin belajar matematika dan fisika dengan total waktu 12 jam dalam seminggu. Ia harus belajar matematika minimal 4 jam dan fisika minimal 3 jam. Setiap jam belajar matematika memberi nilai 5 poin, sedangkan fisika memberi 6 poin. Tentukan alokasi waktu agar nilai yang diperoleh maksimal.
Penyelesaian:
- Variabel: matematika = x, fisika = y.
- Fungsi tujuan: Z = 5x + 6y.
- Kendala:
- x + y ≤ 12
- x ≥ 4
- y ≥ 3
- x, y ≥ 0
- Tentukan titik sudut daerah penyelesaian dan nilai optimum Z.
Apakah mau saya tambahkan tabel rangkuman contoh soal program linear cerita lengkap dengan variabel, fungsi tujuan, dan kendala supaya pembaca lebih mudah membandingkan antar soal?
