Deret Geometri
Daftar Isi Artikel
Coba perhatikan barisan geometri berikut.
3, 9, 27, 81, …
Dapatkah Anda menghitung jumlah 4 suku pertamanya? Untuk menghitung jumlah 4 suku pertamanya, dapat dilakukan penjumlahan 3 + 9 + 27 + 81 = 120.
Penjumlahan beruntun suku-suku geometri merupakan deret geometri. Jadi, 3 + 9 + 27 + 81 merupakan deret geometri. Pada deret geometri, jumlah n suku pertamanya dinyatakan sebagai berikut.
Dengan Sn menyatakan jumlah n suku pertama. Jadi, jumlah 4 suku pertama barisan geometri 3, 9, 27, 81, … dapat dihitung dengan rumus berikut.
Contoh Soal deret geometri 3.11
Sebuah perusahaan home industry pada tahun 2007 mencatat keuntungan di bulan Januari sebesar Rp14.000.000,00. Oleh karena kinerja perusahaan semakin baik, dan didukung ekonomi nasional yang semakin sehat maka di tahun tersebut keuntungan perusahaan naik menjadi
kali lipat dari bulan sebelumnya. Tentukanlah:
- barisan geometri yang menyatakan keuntungan perusahaan tersebut setiap bulannya, mulai bulan januari 2007,
- totalkeuntungan yang diraih perusahaan tersebut hingga bulan Agustus.
- Total keuntungan yang diraih perusahaan hingga bulan Agustus merupakan jumlah 8 suku pertama barisan geometri pada soal
Jadi, jumlah keuntungan perusahaan sampai bulan Agustus dihitung dengan rumus
Jadi, keuntungan perusahaan home industry hingga bulan Agustus adalah Rp3.570.000.000,00.
Contoh Soal deret geometri 3.12
Hasil penelitian gabungan Dinas Sosial dan Dinas Pendidikan Nasional dari tahun 2002 hingga tahun 2007 menunjukkan kecenderungan minat membaca pendudukkecamatan Y selalu meningkat dari tahun ke tahun dengan kelipatan perbandingan yang tetap.
Jika jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002 dan tahun 2003 adalah 80 orang, dan jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002, 2003, 2004, dan 2005 besarnya 800 orang. Tentukanlah jumlah penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2007.
Jawab: Olehkarena minat membaca penduduk meningkat dengan kelipatan perbadingan yang tetap maka akan membentuk barisan geometri dengan r > 1 berikut :
Dari tahun ke tahun jumlah penduduk yang memiliki minat membaca selalu meningkat dengan perbandingan tetap maka r > 1. Jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002 ditambah tahun 2003 yang berjumlah 80 orang dapat dinyatakan dengan persamaan berikut U1 + U2 = 80 …(1) Persamaan (1) merupakan hasil penjumlahan dua suku pertama dari suatu deret geometri. Mengingat rumus hasil penjumlahan n suku pertama dari suatu deret geometri adalah
maka hasil penjumlahan dua suku pertama dari suatu deret geometri dapat dinyatakan dengan rumus
sehingga diperoleh persamaan berikut.
Jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002, 2003, 2004, dan 2005 adalah 800 orang dapat dinyatakan dengan persamaan berikut. U1 + U2 + U3 + U4 = 800 …(3) Persamaan tersebut merupakan hasil penjumlahan empat suku pertama dari suatu deret geometri, sehingga diperoleh persamaan
Dari persamaan (2) dapat diperoleh persamaan (5) berikut.
Persamaan (5) substitusi ke persamaan (4) sehingga diperoleh perhitungan berikut.
Dengan mengingat (r4 – 1) = (r2 – 1)(r2 + 1), maka diperoleh perhitungan berikut
maka diperoleh nilai rasio barisan geometri tersebut adalah r 1 = 3 atau r2 = –3. Pada kasus permasalahan ini, nilai rasio barisan geometri tidak mungkin bernilai negatif maka nilai yang digunakan adalah r = 3, substitusi nilai r ke persamaan (2) diperoleh
Oleh karena jumlah penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2007 adalah barisan geometri, maka
Jadi, jumlah penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2007 adalah 4860 orang.
Dret Geometri Tak Berhingga
Pada deret geometri, untuk n yang besarnya menuju tak hingga maka deret tersebut dikatakan deret geometri tak berhingga. Bentuk umum deret geometri tak berhingga adalah sebagai berikut
Deret geometri tak berhingga tersebut akan konvergen (mempunyai jumlah) jika –1 < r < 1 dan jumlah
r tidak terletak pada –1 < r < 1 maka deret tersebut dikatakan divergen (tidak mempunyai jumlah)
Demikianlah artikel dari dosenmipa.com mengenai Geret Geometri, semoga artikel ini bermanfaat bagi anda semuanya.
