√ Invers Matriks : Pengertian, Rumuas, Jenis dan Contohnya

Pendahuluan

Daftar Isi Artikel

Invers Matriks – Pernahkah kalian mengamati denah tempat duduk di kelas? Berdasarkan denah tersebut, pada baris dan kolom berapakah kalian berada? Siapa sajakah yang duduk pada baris pertama? Dengan menggunakan matriks, kalian dapat meringkas penyajian denah tersebut sehingga dengan mudah diketahui letak tempat duduk dan teman-teman kalian. Dalam matriks, letak tempat duduk tersebut dinyatakan sebagai elemen-elemen matriks. Agar kalian lebih memahami tentang matriks ini, pelajarilah bab berikut.

Pengertian Matriks

Pada 17 April 2003, Universitas Pendidikan Literatur Indonesia (UPLI), mewisuda 2.630 mahasiswanya. 209 wisudawan di antaranya adalah wisudawan dari Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FPMIPA). Berikut ini data wisudawan FPMIPA UPLI pada April 2003 tersebut.

Dengan menghilangkan judul baris dan judul kolomnya, penulisan data tersebut dapat diringkas sebagai berikut.

Perhatikan susunan kumpulan bilangan di atas. Susunan kumpulan bilangan di atas berbentuk persegi panjang dan dinyatakan dalam baris dan kolom. Susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom dengan menggunakan kurung biasa/ siku ini disebut matriks.

Sebuah matriks dapat diberi nama menggunakan huruf kapital, seperti A, B, C, dan seterusnya. Misalnya nama matriks di atas adalah matriks A.

Matriks A terdiri atas 4 baris dan 2 kolom. Oleh karena itu, matriks A dikatakan berordo 4 u 2. Adapun bilangan-bilangan yang terdapat dalam matriks dinamakan elemen matriks. Pada matriks A tersebut, kita dapat menuliskan elemen-elemennya sebagai berikut.

Elemen-elemen pada baris pertama adalah 34 dan 8.
Elemen-elemen pada baris kedua adalah 34 dan 6.
Elemen-elemen pada baris ketiga adalah 51 dan 12.
Elemen-elemen pada baris keempat adalah 51 dan 13.
Elemen-elemen pada kolom pertama adalah 34, 34, 51, dan 51.
Elemen-elemen pada kolom kedua adalah 8, 6, 12, dan 13.

Uraian ini menggambarkan definisi berikut.

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang. Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks. Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.

Secara umum, matriks berordo i x j dengan i dan j bilangan asli dapat ditulis sebagai berikut.

Beberapa jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks adalah sebagai berikut.

Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris. Misalnya: P [-5 2], Q [10 9 8]
Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom. Misalnya:

Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom. Misalnya:

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol. Misalnya:

Matriks identitas adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0. Misalnya:

Matriks Skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. Misalnya:

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen di luar diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya:

Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya:

Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya:

Transpos matriks A atau (A t) adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris kei matriks A menjadi kolom kei dan sebaliknya, menuliskan kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-j . Misalnya:

Beberapa sifat matriks adalah sebagai berikut.

Operasi Hitung pada Matriks
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Niko Sentera dan Ucok mengikuti tes untuk membuat SIM C. Tes ini terdiri atas tes tertulis dan tes praktek. Hasil tes mereka ini tampak seperti pada tabel berikut.

Penjumlahan tersebut dapat juga dilakukan dengan menggunakan matriks, yaitu sebagai berikut.

Perhatikan bahwa kedua matriks yang dijumlahkan memiliki ordo yang sama. Hasil matriks yang diperoleh adalah matriks yang berordo sama, diperoleh dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak. Bagaimana dengan pengurangan matriks? Pengurangan matriks juga dapat dilakukan jika ordo matriks yang akan dikurangkan sama. Hasil pengurangan matriks ini merupakan matriks yang berordo sama, diperoleh dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang seletak.

Perkalian Bilangan Real dengan Matriks

Setelah Kita mempelajari penjumlahan dua dan tiga matriks. Sekarang, lakukan penjumlahan matriks A berordo i u j secara berulang sebanyak n kali

Dari uraian ini, kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut.

Jika A sebuah matriks dan k bilangan real maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen matriks A dengan k.

Perkalian Dua Matriks

Pernahkah kita bermain domino? Bagaimanakah memasangkan kartukartu dalam permainan domino? Agar selembar kartu domino dapat dipasangkan dengan kartu domino yang lain, jumlah mata bagian kanan kartu tersebut harus sama dengan jumlah mata bagian kiri kartu pasangannya.

Prinsip pemasangan kartu domino ini dapat kita gunakan untuk memahami perkalian dua matriks, yaitu sebuah matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Adapun elemen-elemen matriks hasil kali ini adalah jumlah dari hasil kali elemen-elemen pada baris matriks A dengan elemen-elemen pada kolom matriks B.

Determinan dan Invers Matriks
Determinan Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi IAI dinotasikan dengan A .

Untuk matriks A berordo 2 u 2, determinan matriks A didefinisikan sebagai berikut.

Adapun untuk matriks B berordo 3 u 3, determinan matriks B ini didefinisikan sebagai berikut menggunakan kaidah Sarrus.

Invers Matriks Matriks

persegi A mempunyai invers, jika ada matriks B sedemikian hingga AB=BA = I _nxn dengan I matriks identitas. Pada persamaan AB = BA = I_nxn’, A dan B disebut saling invers. Berikut ini adalah syarat suatu matriks A mempunyai invers.

Jika IAI, maka matriks A tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks singular.
Jika IAI, maka matriks A mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks nonsingular.

Untuk menentukan invers suatu matriks dengan ordo 3 x 3, kalian harus memahami tentang matriks minor, kofaktor, dan adjoint.

Matriks Minor

Matriks minor M_ij diperoleh dengan cara menghilangkan elemenelemen pada baris ke-i dan kolom ke-j matriks A berordo 3 x 3, sehingga didapat matriks baru dengan ordo 2 x 2. Determinan dari matriks tersebut disebut minor dari determinan matriks A, ditulis dengan |M_ij|.